CF1519F Chests and Keys

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Part1：转化

考虑什么情况下能保证 Alice 获胜。

记 Alice 给箱子 \(i\) 配的锁的集合为 \(N(i)\)，则 Bob 需要满足：

\[\forall s\subseteq{1,2,\dots,n},(\sum_{i\in s} a_i)\leq(\sum_{j\in(\cup_{i\in s}N(i))} b_j) \]

说人话，就是对于任意箱子的子集 \(s\)，Bob 的收益小于买来所需钥匙的花费。
容易发现这像是一个点带权的 \(\text{Hall}\) 定理的形式。考虑使用其逆定理重新刻画问题与条件。

• 将所有箱子 \(i\) 所代表的点拆成 \(a_i\) 个颜色为 \(i\) 的点；
  同理，将锁 \(j\) 所代表的点拆成 \(b_j\) 个颜色为 \(j\) 的点。
• 假若颜色为 \(i\) 与颜色为 \(j\) 的点之间存在至少一条边，那么 Alice 会花费 \(c_{i,j}\) 的代价。
• 答案就是最小权完备匹配。

这个转化的充分性显然。
必要性可以考虑反证。我们刻画什么条件下原题意的条件满足，现在不满足。
唯一的可能就是存在颜色 \(i\)，我们只选了其拆出的 \(a_i\) 个点中的部分。这里可以考虑，每个拆出的同颜色点，本质是相同的，所以这并不会影响正确性。具体的可以用归纳法进一步详细证明。

Part2：设计具体做法

现在来考虑这个新问题怎么做。记 \(f_{i,s}\) 表示，考虑了前 \(i\) 种颜色的点，每个锁拆成的点中还没被匹配的个数（压缩成 \(m\) 位 \(5\) 进制数 \(s\)），最小总花费是多少。

• 状态数总量为 \(n\times 5^m\)

转移就枚举当前 \(a_i\) 个点和右边每种颜色点匹配个数。有效转移不多，可以利用 \(\text{DFS}\) 搜出。

最终答案就是：

\[\min_{s\subseteq {1,2,\dots,n}} f_{n,s} \]

Part3：代码

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FR(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
using namespace std;
typedef vector<int> vi;
constexpr int N = 8, V = 5, M = 2e4;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, a[N], b[N], pwV[N], c[N][N];
int f[N][M];
int GetState(vi v) {
    int s = 0;
    FL(i, 0, m - 1) {
        s += v[i] * pwV[i];
    }
    return s;
}
vi GetArray(int s) {
    vi v(m, 0);
    FL(i, 0, m - 1) {
        v[i] = s % V;
        s /= V;
    }
    return v;
}
void Input() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    FL(i, 1, n) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    FL(i, 1, m) {
        scanf("%d", &b[i]);
    }
    FL(i, 1, n) {
        FL(j, 1, m) {
            scanf("%d", &c[i][j]);
        }
    }
}
vi v;
void Trans(int i, int s, int j, int r, int w) {
    if (j == m) {
        if (!r) {
            f[i][s] = min(f[i][s], w);
        }
        return;
    }
    FL(t, 0, min(v[j], r)) {
        v[j] -= t;
        Trans(i, s - t * pwV[j], j + 1, r - t, w + (t? c[i][j + 1] : 0));
        v[j] += t;
    }
}
void DP() {
    pwV[0] = 1;
    FL(i, 1, m) {
        pwV[i] = pwV[i - 1] * V;
    }
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    v = vi(b + 1, b + m + 1);
    f[0][GetState(v)] = 0;
    FL(i, 1, n) {
        FL(s, 0, pwV[m] - 1) {
            if (f[i - 1][s] >= INF) {
                continue;
            }
            v = GetArray(s);
            Trans(i, s, 0, a[i], f[i - 1][s]);
        }
    }
}
void CalcAns() {
    int ans = INF;
    FL(s, 0, pwV[m] - 1) {
        ans = min(ans, f[n][s]);
    }
    printf("%d\n", ans >= INF? -1 : ans);
}
int main() {
    Input();
    DP();
    CalcAns();
    return 0;
}