南外集训Day3

状压dp

特点

• 数据规模小的一类最优化问题。
• 状态满足无后效性，且你无法抽象出一个不是暴力的状态（即你需要对所有点进行求解才能得到答案）。

做法

状压dp多以二进制作为状态，有时多进制。

操作：

有一个数x

1. 第k位置为1

   x|=1<<k

2. 第k位设置为0

   (x|(1<<k))^(1<<k)

3. 第k位取反

   x^(1<<k)

4. 判断第k位是否位1

   x&(1<<k)>0

5. 取最低位1对应的10进制数

   x&(-x)

6. 去掉x的最低位1

   x-(x&(-x)),x&(x-1)

7. 取出整数的第k位

   (x>>k)&1

……

反正手推即可。

例题

[SCOI2007]排列perm

题目。

题意

　　给一个数字串s和正整数d, 统计s有多少种不同的排列能被d整除（可以有前导0）。例如123434有90种排列能 被2整除，其中末位为2的有30种，末位为4的有60种。

思路

套路：把余数开进状态

再把选的数压进状态

这是个板题……

美妙的菜肴

题目。

题意

吃m种菜，每种有一个贡献，连着吃x_i,y_i并且按照x_i,y_i的顺序吃会多c_i的贡献，求最大贡献。

思路

记录吃的菜状态和上一个选的。

卡牌游戏

题目。

思路

差值可以是负数！！！那么我们发现两个人都想让自己的值变大。

dp[i][s]前i次操作，卡牌状态为s，之所以能状压是因为最多用到最好的那m张

我们发现不禁卡牌和禁m张中最差的m张一样，因为这步操作一定会使m张卡牌多出一张，而这张必定选不到。所以我们就保证了每步必定会禁一张。

然后就是这样，很水，直接上即可。

[POI2004]PRZ

题意。

题目

一只队伍在爬山时碰到了雪崩,他们在逃跑时遇到了一座桥,他们要尽快的过桥. 桥已经很旧了, 所以它不能承受太重的东西. 任何时候队伍在桥上的人都不能超过一定的限制. 所以这只队伍过桥时只能分批过,当一组全部过去时,下一组才能接着过. 队伍里每个人过桥都需要特定的时间,当一批队员过桥时时间应该算走得最慢的那一个,每个人也有特定的重量,我们想知道如何分批过桥能使总时间最少.

思路

枚举子集+预处理可以水过。

[NOIP2017 提高组] 宝藏

题目。

思路

环的计数

题目

给定 n 个点 m 条边的简单无向图，求其中环的数量。

思路

dp[s][u]为到u的链有多少条，那么我们看看u到s中的最小点是否有连边以确定权值即可。

序列递推

思路

[Noi2012]随机数生成器

题目。

题意

X[n+1]=(aX[n]+c)mod m， 求X[n] mod g。

思路

矩阵快速幂直接上就行了

由于会爆long long，所以用龟速乘即可

[SDOI2009]HH去散步

题目。

思路

材料分解

题目。

思路

随机交换排序法

题目。

题意

给一个长度为 $n$ $(n\leq 100)$ 的 $0/1$ 串，进行 $k$ $(k \leq 10^9)$ 次操作，每次操作选择两个位置 $i,j$ $(1 \leq i < j \leq n)$，交换 $i,j$ 上的数，求 $k$ 次操作后，该 $0/1$ 串变成非降序列的概率，答案对 $10^9+7$ 取模。

思路