CF Gym 102759I

题意

给出一颗 $n$ 个节点的树以及 $Q$ 个操作，操作可能的类型如下；

1. 1 u，把 $u$ 子树里的所有 $A_i$ 加一。
2. 2 u v，把 $u$ 到 $v$ 路径上的所有 $A_i$ 加一。

每次操作后查询如下式子：$$ \min_{1 \leq y \leq n}\sum_{1 \leq x \leq n}a_xdis(x,y) $$

做法

考虑维护树的带权重心。

我们记 $S$ 为 $\sum A_i$，$sz_u$ 为 $u$ 子树里的 $\sum A_i$ 以及 $b_{dfn_i}=a_i$。有如下性质：

一个树必定存在至少一个带权重心，且带权重心必定的权值种类数唯一。

$b$ 数组的一段前缀必定对应了树上的一个连通块。

从左往右找到第一个 $i$ 使得 $\sum b_{1...i} \geq \frac{S}{2}$，那么 $i$ 必定存在一个祖先 $y$ 满足 $y$ 是 $i$ 的带权重心。

前两点比较显然。

最后一条利用构造法证明：若 $i$ 不是树的带权重心，必然可以移动到 $father_i$ 使得新的 $i$ 的所有子树大小 $\leq \frac{S}{2}$。重复上述操作，最终将会得到一个满足条件的 $y$。

这时问题就转化为了固定 $y$，查询：$$ \sum_{1 \leq x \leq n}a_xdis(x,y) $$ 假设这个问题是静态的，可以利用换根 $\text{DP}$ 轻松解决。可是树是实时变化的，故而考虑用树链剖分维护。

具体的，要算贡献需要分两类边讨论：

1. $y\to root$ 路径上的边（深度较浅的那个记为 $x$）。

   贡献为 $sz_x-sz_y$。

2. 其余的边（深度较深的那个记为 $x$）

   贡献为 $sz_x$。

初始时预处理点 $u$ 到根路径上的点数。进行链修改来维护 $sz$ 数组，查询时直接 $\sum sz_y$ 减去 $u$ 到根路径上点数 $\times sz_y$。