[算法][深入讨论] 更透彻地理解二分法

二分虽简单，细节很难改。研究不深入，用时两行泪。

你知道吗？在所有懂二分法的人中，只有8%的人能够完全掌握二分法

上升序

贴入模板（上升序）(its表示要找的数)，最终可以使用 left 当做寻找到的数：

        int left = 0,right = n - 1;
        int mid;
        while(left != right){
            mid = (left + right) / 2;
            if(its <= SortedList[mid]) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }

二分法必然会碰到 left + 1 == right 的情况，此时 mid == left，在这种情况将时讨论：

• 若its刚好不在SortedList中，此时一定有 SortedList(left) == SortedList(mid) < its < SortedList(right)，那么必定向右缩进(改变left保留right)使 left = mid +1 == right，即最终寻找的是第一个比list大的数

 

• 若只有一个its在Sortedlist中，那么此时一定有 SortedList(left) == its 或者 SortedList(right) == its，但是无论哪一种情况，都会使 left== right == SortedList^-1(its)      (-1次表示反函数)，即最终寻找的是那个唯一等于its的数

 

• 若有多个its在Sortedlist中，那么此时一定有 SortedList(left) == SoredList(right) == its，此时寻找的一定是List中等于its，但是我们想要知道寻找的是第几个等于its的数。若已经达到SortedList(left) == SoredList(right) == its的情况，此时一定是往左缩进(改变right = mid，保留left)，即最终变化是寻找的是当前第一个等于its的数。由于每次在等于的情况都会向左缩进，所以在多个its在Sortedlist中，必定寻找的是第一个等于its的数

所以该算法求的是 从左到右第一个大于或者等于its的数

 

 

下降序

关于下降序就是把代码第5行的 <= 改为 >=

那么同理，该算法求的是 从左到右第一个小于或者等于its的数

 

 

总结

整体来看，该二分法是在不包含its是偏右方(第一个大于/第一个小于)，在包含its中是偏左方(第一个等于)

以下括号内为下降序，括号外是上升序

若序列就是要找 第一个比its大于(小于)或者 等于 的数，那么直接套用SortedList(left)即可

若想要找到 第一个比its大于(小于) 的数，那么可以加一条 while(SortedList(left) != its) left++

若想要找到 最后一个比 its 小于(大于) 的数，只需要 left - 1 即可

若想要找到 最后一个比its小于(大于) 或者 等于 的数，那么加一条while(SortedList(left) != its) left++ 后再让 left - 1 即可。