[未完成][基础算法/讨论]关于二叉树最小公共祖先（LCA）

设二叉树节点数为n，寻求m对的最小公共祖先（保证点值存在且唯一）

 

一、对于只寻求一对的最小公共祖先（即寻求数m = 1）：

这种可以直接采用简单的O(n)算法，设公共祖先为V，两点分别为O1与O2，规律如下：

• 若V为O1与O2中一点，则另一个点处在V的其中一个左右子树中
• 若V不为O1与O2，则O1与O2分布在V的两个不同子树中，且O1与O2分布在非最小公共祖先的同一个子树

因此据此写出代码：

1. 若节点为空，返回 nullptr;
2. 若节点为O1或者O2，返回该值 Chird_Val;
3. 递归遍历左右子树，并分别记录左右返回值 Chird_Val;
4. 若左右子树都有非 nullptr返回值 Chird_Val，则返回该点值 Root_Val(说明该点为最小公共祖先);
5. 若只有一个有非 nullptr返回值 Chird_Val，则返回该返回值 Chird_Val;
6. 若左右子树都为 nullptr返回值，则返回 nullptr;

 

二、对于多寻求的最小公共祖先

这种如果采用上面的算法，则很明显时间复杂程度为O(mn)，不太高效，以下分享两种算法，分别是离线与在线操作

I. Tarjan 离线算法

该算法也可以操作非二叉树图，时间复杂程度为O(n+m)

需要维护一个并查集（各节点不小于1，并查集初始化father[x] = x）。

对于二叉树来讲，设目前点为u，u的儿子节点为v，与u有关的查询节点为w，tarjan算法具体规则如下 

1. for each(v): dfs(v)
2. 使v与u融合(并查集，father[find(v)] = u，此时father[u] = u恒成立)
3. for each(w)
4. 若w被遍历过，则father[w]为u与w的最小公共祖先

证明：类似于一* 中的规律。