单调队列优化DP

这段时间在重温DP，发现DP中有很大很重要的一块区域是关于DP优化的，于是来和大家分享一下各种DP优化方法，下面讲一下单调队列优化DP

• 单调队列

首先来重温下什么是单调队列，在单调队列中，每个元素的决策时间单调增而它的决策单调更劣，这就显然可以明白，最优决策永远在队首。

如果对上面基础单调队列不了解，可以先做【POJ2823】Sliding Window 这道题目体会一下再回来看后面的重点，这里就不再赘述了。

• 单调队列优化DP

 在单调队列中，当区间移动时，在队头不停删除不在区间内的决策，而在队尾加入决策，在队尾加入决策前要判断是否满足单调性，否则先删除队尾决策直到加入决策后能满足单调性再加入。

下面来一道例题【POJ1821】

题意：有K个工人，和长为N的篱笆，现在要给篱笆上色。每个工人坐在Si上，他能刷的最大范围是Li，且必须是一个连续子区间，而且必须过Si，他刷完后能获得Pi钱，求总报酬最大值

思路：先设出方程，设 dp[i][j] 表示前i个工人，前 j 个篱笆的最大获利

那么dp[i][j]=dp[i-1][j]（第i个人不刷）或dp[i][j]=dp[i][j-1] （第i个人不刷第j 块）

状态转移方程是    dp[i][j]  =  max(  dp[i][j]   ，dp[i-1][k]  +  (j-k)*P[i]   )   j>=S[i]，k<S[i] 且k>=j - L[i]

把加粗的那一段展开得到dp[i-1][k] - k*P[i] + j*P[i] 那么这样，前半部分只与决策k有关（除状态i），这样的话随j的增大，k取值范围下界在增大，上届不变，所以k越大时存活时间越长，而这时如果还满足前面加粗式的单增，则不难想到，可以用单调队列优化，优化后时间复杂度为O(NM)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define N 120
#define M 17000

using namespace std;

struct AC
{
    int l,p,s;
}re[N];

int q[M],l[N],r[N],dp[N][17000],n,k;

inline bool cmp(const AC &a,constAC &b)
{
    return a.s<b.s;
}

void solve()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)   dp[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=0;j<re[i].s;j++)   dp[i][j]=dp[i-1][j];  //第i个粉刷匠不刷任何墙 
        int h=0,t=0;
        for(int j=l[i],tmp;j<re[i].s;j++)  //将dp[i-1]层的最优状态存入单调队列 
        {
            tmp=dp[i-1][j]-j*re[i].p;
            while(t>h&&dp[i-1][q[t-1]]-q[t-1]*re[i].p<=tmp) t--;
            q[t++]=j;
        }
        for(int j=re[i].s,tmp;j<=r[i];j++)
        {
            while(t>h&&j-q[h]>re[i].l) h++;   //弹出不在范围中的元素 
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][q[h]]+(j-q[h])*re[i].p);
        }
        for(int j=r[i]+1;j<=n;j++) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[k][i]);
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=k;i++)
        scanf("%d%d%d",&re[i].l,&re[i].p,&re[i].s);
        sort(re+1,re+1+k,cmp);
    
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            l[i]=max(0,re[i].s-re[i].l);
            r[i]=min(n,re[i].s+re[i].l-1);
         }
         solve();
    }
    return 0;
}