题解：ABC270G Sequence in mod P

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思路

题目给出了一个数列

\[x_{i+1}\equiv {a\times x_i+b}\pmod{p} \]

并想要求最小的 \(x_i=G\)，那我们可以考虑求出这个数列的通项公式。

具体的，观察到原式可以转化成一个等比数列的形式，所以我们可以先设一个常数 \(k\)，使得

\[x_{i+1}+k=a(x_i+k) \]

替换进原先的式子

\[a(x_i+k)-k ax_i+b \]

\[ak-k=b \]

\[k=\frac{b}{a-1} \]

于是就有

\[x_{i+1}+\frac{b}{a-1}=a\left( x_i+\frac{b}{a-1} \right) \]

这样就把原式化成等比数列的形式了

\[x_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv a\left( x_i+\frac{b}{a-1} \right) \pmod p \]

由等比数列的通项公式得

\[x_n+\frac{b}{a-1}\equiv a^{n}\times \left( x_0+\frac{b}{a-1} \right)\pmod p \]

题目是求 \(n\)，移个项

\[a^{n}\equiv \frac{{x_n+\frac{b}{a-1}}}{x_0+\frac{b}{a-1}} \]

然后求下逆元就能 BSGS 了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
inline int read();
int T;
long long p,a,b,x0,xn;
long long ksm(long long a,long long b,long long p)
{
	long long ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=(a*ans)%p;
		a=(a*a)%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
long long bsgs(long long a,long long b,long long p)
{
	map<int,int> ma;ma.clear();
	b%=p;
	int t=sqrt(p)+1;
	for(int i=0;i<=t;i++)
	{
		int val=b*ksm(a,i,p)%p;
		ma[val]=i;
	}
	a=ksm(a,t,p);
	for(int i=0;i<=t;i++)
	{
		int val=ksm(a,i,p);
		int j=ma.find(val)==ma.end()?-1:ma[val];
		if(j>0&&i*t-j>=0) return i*t-j;
	}
	return -1;
}
int main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		p=read();a=read();b=read();x0=read();xn=read();
		if(x0==xn)
		{
			puts("0");
			continue;
		}
		if(a==0)
		{
			if(xn==b) puts("1");
			else puts("-1");
			continue;
		}
		if(a==1&&b==0)
		{
			puts("-1");
			continue;
		}
		if(a==1)
		{
			long long ans=((xn-x0)%p+p)%p*ksm(b,p-2,p)%p;
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		long long inv=b%p*ksm(a-1,p-2,p)%p;
		long long b1=(xn%p+inv)%p;
		long long b2=ksm(x0%p+inv,p-2,p)%p;
		int ans=bsgs(a,b1*b2%p,p);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch;
	ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
		ch=getchar();
	}
    return x*f;
}