题解：P10453 七夕祭

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最近在板刷蓝书，所以来写个题解加深自己的印象。

首先发现行和列互不影响，所以可以分开看。所以就是对行和列都做一次环形均分纸牌问题，也就是这个题糖果传递。

先来看一下普通的均分纸牌

普通的均分纸牌就是 \(n\) 个小朋友排成一列，各有 \(a_i\) 张牌，每个人只能给相邻的人传递纸牌，问至少需要传递多少张纸牌才能使每个小朋友纸牌的数量相等。

最后每个人手里的牌一定是牌总数的平均值，即 \(ave=\frac{sum}{n}(sum=\sum {a_i})\)，设 \(g_i=a_i-ave\)，答案就是 \(\sum |s_i|\)，其中 \(s_i=\sum\limits_{j=1}^i g_j\)，即 \(g\) 的前缀和。

可以这么理解，\(g\) 表示的是到最终目标牌数差的数量，目标是将 \(g\) 都变为 \(0\)，那么对 \(g\) 取前缀和表示的就是把前面的牌都转移到自己，所以 \(s_i\) 就是 \(i\) 转移出去的代价。

再来看一下环形均分纸牌

环形的问题就是小朋友坐成了一圈，等同于最后一个人与第一个人相邻。

思考后可以发现环形均分纸牌的一个性质：必定至少有两个相邻的人不需要从对方那里获得纸牌（这是显然的，不妨设这两个人的位置为 \(i\) 和 \(i+1\)，\(T\) 代表均分纸牌的目标个数，则环形序列中必定有满足 \(a_i\le T,a_{i+1}\ge T\) 的两个相邻位置，这样 \(i\) 和 \(i+1\) 就不会交换，因为 \(a_i\le T\) 的会从 \(i-1\) 处得到纸牌，\(a_{i+1}\ge T\) 可以把牌传递给 \(i+2\)）。

所以我们可以根据上面的性质，把环变成链，枚举不需要交换的两个人。

按开始的序列顺序，像普通均分纸牌一样处理出\(g\) 的前缀和 \(s\) 数组，那么假设枚举的位置为 \(k\)，则类比普通均分纸牌求法，新的 \(s_i=s_i-s_k\)，于是 \(ans=\sum{|s_i-s_k|}\)，发现 \(s_k\) 为 \(s\) 的中位数时 \(ans\) 最小，于是该问题就得到了解决。

回到这个题

应该先判断有没有解，即行和列的 \(sum\) 是否可以分别被行数 \(n\) 和列数 \(m\) 整除。然后对行和列做两次环形均分纸牌即可。

细节可以参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
inline int read();
int n,m,t,row[N],col[N];
long long srow[N],scol[N],rowsum,colsum,rowans,colans;
int main()
{
	n=read();m=read();t=read();
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		int x,y;
		x=read();y=read();
		row[x]++,col[y]++;
		rowsum++,colsum++;
	}
	if(rowsum%n!=0&&colsum%m!=0) return puts("impossible"),0;
	if(rowsum%n==0)
	{
		int rowave=rowsum/n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			row[i]-=rowave;
			srow[i]=srow[i-1]+row[i];
		}
		sort(srow+1,srow+1+n);
		int k=(n+1)/2;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			rowans+=abs(srow[i]-srow[k]);
		}
	}
	if(colsum%m==0)
	{
		int colave=colsum/m;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			col[i]-=colave;
			scol[i]=scol[i-1]+col[i];
		}
		sort(scol+1,scol+1+m);
		int k=(m+1)/2;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			colans+=abs(scol[i]-scol[k]);
		}
	}
	if(colsum%m!=0) printf("row %lld",rowans);
	else if(rowsum%n!=0) printf("column %lld",colans);
	else printf("both %lld",rowans+colans);
	return 0;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch;
	ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
		ch=getchar();
	}
    return x*f;
}

UPD on 2024.10.13