一、图论基础知识（2023.4.13初版[个人向]）
1.图的定义和概念
1.图的定义
1.图中点的数据元素称之为顶点 线性表中的数据元素称为元素 数中的数据元素称为结点
2.线性表和树均可以没有元素，称为空表和空树 但图中一定有元素（顶点）[有穷非空性]，不存在空图
3.图中顶点集V一定非空，但边集E可以为空 即图可以存在有点无边
4.图中元素之间的关系是 边点关系（各个顶点关系用边来表示） 线性表中元素之间的关系是 线性关系 树中元素之间的关系是层次关系
- 当V,E都是有限集合时，称G为
- 当V或E是无限集合时，称G为无限图
2.图的基础术语
1.在图G中(边e=(u,v))，每条边都被赋予一个数作为该边的权，则称G为赋权图。若这些权都是正数，则称G为正权图
2.图G的点数|V|也被称为图G的阶
3.当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并称这条边依附于这两个顶点。
4.度：某个顶点的度数即为与其相关联的边数
对于有向图来说，有入度和出度之分 有向图的度等于该顶点的入度和出度之和
5.子图是由一幅图的所有边的一个子集（以及它们所关联的所有顶点）组成的图
6.路径：顶点a到顶点f之间的路径是指顶点序列 a,b,c,d,e,f，关联的边也是构成路径的要素
路径长度即路径中包含的边的个数
起点和终点相同的路径称为回路或环
若一个有n个顶点的图，当其边数大于n-1时，此图一定有环
简单路径：顶点不重复出现的路径
简单回路：除起点和终点外，其他顶点不重复出现的路径
7.距离：距离是指从顶点u出发到顶点v的最短路径长度。若从u到v不存在路径，则该距离为无穷( ∞ )
8.连通： 如果 两个顶点a,b之间有路径可通，则称顶点a和顶点b是连通的
若一个图中的任意两个顶点都是连通的，则称这幅图为连通图，否则称为非连通图
一个非连通图是由若干个连通得部分组成，这些部分称为连通子图
极大连通图又称为该无向图的连通分量，要求包含图中大部分的边和顶点，甚至再加上一个点或者边之后就不连通了
极小连通图是在保持图的连通性的情况下又使得边数最小的子图
若一个图有n个顶点，并且边数小于n-1，则此图必是 非连通图
9.生成树和生成森林
树是无环连通图。互不相连的树组成的集合称为森林
连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。对于生成树，砍去它的一条边，就会变成非连通图，若加上一条边就会形成回路
若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边
3.图的基本概念
图中任意两个顶点之间的边都是无向边的图，称为无向图
1.无向边即没有方向的边，任意两个存在无向边的顶点的方向都是任意的，不存在指定关系
2.无向图中不存在有向边
2.有向图
图中任意两个顶点之间的边都是有向边的图，称为有向图
1.有向边即有方向的边，任意两个存在有向边的顶点的方向都是固定的，存在指定关系
2.有向图中不存在无向边
3.混合图
混合图中既存在有向边，又存在无向边
4.完全图
在完全图中，所有的点之间都互相连通，不存在两点之间不连通
-
完全无向图：在无向图中，任意两个顶点之间都存在边
含有n个顶点的无向完全图存在的边数为： n*(n-1)/2
-
完全有向图：在有向图中，任意两个顶点之间都存在互相指向的边
含有n个顶点的完全有向图存在的边数为：n*(n-1)
当一个图接近完全图时，称之为稠密图 当一个图含有边数较少时，称之为稀疏图
5.简单图和多重图
自环：即一个边的两个端点相同 ，也就是从一个顶点出发的边又到达这个顶点
重边：两个完全相同的边，称为（一组）重边
简单图：不存在 自环 和 重边
多重图：存在 自环 或 重边
6.二分图
二分图是能够将所有结点分为两部分的图，其中图的每条边所连接的两个顶点都分别属于不同的部分
1.图的定义中图来源于：知乎@俊伟Albert
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