应用数学方法解决碰撞问题的一种思路

*****阅读前温馨提示：本文仅为随笔，如对本文有疑问请阅读参考文献！******

笔者在做题时遇到了如下习题：

 

于是代入弹性碰撞和非弹性碰撞的公式，做出B的速度分别是4.8m/s和2.4m/s，于是碰撞过后B的速度应该在2.4-4.8m/s之间，于是答案为B

针对该题，为什么发生弹性碰撞后B相对地面的速度取最大，而发生非弹性碰撞B相对地面的速度就取最小呢？可以想象AB间有一根弹簧，弹性碰撞时，弹簧先压缩至最短，再回到原长，非弹性碰撞时，弹簧压缩至最短。所以B的速度的在弹簧压缩至最短时最小，而在弹簧恢复原长时达到最大。剩下的速度只可能在弹簧压缩至最短与恢复至至原长时取到，因此B的速度在二者之间。这样从物理的角度大致说明了原因，不过可以利用数学方法更严谨地证明出这个结论[1]

设碰撞后两个物体速度分别为v_1，v_2，利用动量守恒，和能量的关系，可以得到如下公式：

 其中C1为碰撞前后守恒的总动量（并非为定值），C2为碰撞后的总动能（并非为定值），把两式变形后得到：

 如果把v1看作x轴，另一项（根号下m2/m1乘以v2）看作是y轴，则动量守恒、碰撞后动能在此坐标系中分别是一条直线和一个圆。

 直线与圆的交点即为两个物体在动量和动能均一定的情况下的一组速度关系（当直线和圆相交时，一定会有两个交点，即两组解，一组为碰撞前速度关系，一组为碰撞后速度关系），如上图所示，当一个球速度为V1，撞向另一个静止的球，

1当两者发生弹性碰撞时，直线和圆应过图中点I，利用表达式绘制出过I点的圆（动能不变为圆，动量不变为直线），另一个交点E即表示撞后两者速度；

2若该过程为完全非弹性碰撞，则碰撞后二者动量相同，速度相同，此时只能作出动量不变的直线（图中为IE），而动能在碰撞前后发生了变化，故圆的半径会变小，最小时表现为圆与直线相切，因此碰撞后二者速度关系对应于图中P点

3若该过程为一般非弹性碰撞，碰撞后速度关系可能为EP线段上除EP外的任何一点。（为何PI段不行？因为碰撞后必然有v2'>v1'）

 此题中需要的条件如上（<=C2即为圆的放缩），故根据此条件可以发现解就在PE之间，故B速度最大值在E点，最小值在P点，即弹性碰撞速度就最大，而非弹性碰撞速度就最小。

 

此方法还可以用来证明发生非弹性碰撞时（即动能损失最大时），碰撞后两物体必然共速，以及用来解答一系列竞赛问题

如此题：

如图所示，在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动。在小球前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，Q点为一竖直的墙壁，小球A与小球B发生弹性碰撞后小球A与小球B均向右运动。小球B与墙壁碰撞后原速率返回并与小球A在P点相遇，PQ=2PO，则两小球质量之比m1:m2为_______。【2021-2022重庆七校高二（上）期末物理试卷】

A与静止的B发生弹性碰撞，随后B与墙发生弹性碰撞，以原速度返回后和A再次发生碰撞。代入碰撞公式后可以得到A的速度与B的速度。

进而计算可以得到答案5:3，但是又提出问题，质量比是多少的时候可以AB撞第二次，不撞第三次呢？依然可以使用完全弹性碰撞公式得出答案1:3<m1:m2/[2+sqrt(5)]:sqrt(5)，那么什么时候产生N次碰撞呢？碰撞的次数N和质量之比是什么关系呢？可以用excel表格迭代去计算，但是无法得出定量关系，也可以用数学的方法计算出来[2]，不过用本文所给方法，几何法进行计算则更为简单。

像上面这样以速度为轴，画出图像，此图为可以碰撞4次的图。两球碰撞时动量守恒、能量守恒，故为直线与圆的交点。与墙相撞，速度反向，故关于x轴做对称即可得到新的B的速度，进而继续重复此过程，直到不能相撞（没做垂直时直接在红线上方，y轴下方则不行；或者在y轴上方，但是对称后在红线上方也不行）需要计算临界的点。

以下简单说明计算过程：红线表明的是v1=v2，与AB垂直，而因为平行线所以角∠BCD DEF FGH都相等，故所对的弧⌒BD DF FH都相等。所以只需要保证弧HI有长度即可，后面读者可自行计算。

参考文献：

[1]Kin Son Wong, Hang Wong; Understanding the Law of Conservation of Momentum in One-Dimensional Collisions Between Two Objects Using the Velocity Space Approach. The Physics Teacher 1 February 2022; 60 (2): 94–96. https://doi.org/10.1119/5.0024603

[2]文世达,梅军,廖秀秀等.两球弹性碰撞次数与它们质量之比的关系研究——对一道物理竞赛题的再思考[J].物理通报,2018(12):120-122.