2020 Petrozavodsk Winter Camp Day5 简要题解
A.Bags of Candies
题目大意：
给\(1 \sim n\)的整数，\(gcd\)不为\(1\)的两个数可以匹配，问最多匹配多少对，\(n \leq 10^{11}\)
题解：
考虑在\(\lceil \frac{n}{2} \rceil \sim n\)的质数和\(1\)不能匹配，剩下的枚举质数从大向小匹配，剩下的是\(p,2p,\cdots\)。若个数是偶数，则正好完全匹配，若个数是奇数，则留下\(2p\)。不难发现剩下的\(2p\)匹配完是否剩余仅和奇偶有关，所以问题的本质就是求\(\lceil \frac{n}{2} \rceil \sim n\)的质数个数，用Min25筛求解即可，复杂度为\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})\)
B.Binomial
题目大意：
给长度为\(n\)的序列\(a\)，求\(\binom{a_i}{a_j}\)为奇数的个数，\(n,a_i \leq 1e6\)
题解：
通过卢卡斯定理可得，\(\binom{a_i}{a_j}\)为奇数，当且仅当二进制下\(a_j\)是\(a_i\)的子集，高维前缀和即可，复杂度为\(O(20*2^{20})\)
C.Bookface
题目大意：
给定长度为\(n\)的数列\(a\)，每次可以花\(1\)次操作使数列中某数\(\pm 1\)，问最少多少次操作，使得操作后序列排序后，相邻元素之差大于等于\(d\)，\(n \leq 2 \cdot 10^5\)
题解：
考虑先在数列前面添上\(-d \sim -(n+1) \cdot d\)，这样就保证了最优解一定不会把数减到0以下。再将序列排序，第\(i\)个数减去\(i \cdot d\)，这样问题就转化为将序列变成不降的最小代价。考虑应该是将数列分成一些段，每段都变成中位数，可以用堆来实现这个操作，复杂度为\(O(n \log n)\)
D.Clique
题目大意：
给定一个圆，上面有\(n\)段弧，问最多选出多少段弧，使得两两有交，\(n \leq 3000\)
题解：
E.Contamination
题目大意：
二维平面上有\(n\)个圆形障碍，保证不相交，\(Q\)次询问\(p,q\)两点是否能只通过\([ymin,ymax]\)的地方互相到达，\(n,Q \leq 1e6\)
题解：
本质就是询问圆心\([p_x,q_x]\)内的圆，是否有一个圆上下界将\([ymin,ymax]\)完全覆盖。然后就是个数点问题了，随便解决，复杂度为\(O(n \log^2 n)\)
F.The Halfwitters
题目大意：
给定一个排列\(P\)，可花\(a\)的代价交换位置相邻两数，\(b\)的代价翻转排列，\(c\)的代价重新随机生成一个排列。给\(T\)个排列，问变成\(1 \sim n\)的最小代价，\(T \leq 2 \cdot 10^4 , n \leq 16\)
题解：
G.Invited Speakers
题目大意：
二维平面中，有\(n\)个红点和\(n\)个蓝点，用折线链接红蓝点对来匹配，构造一组最大匹配方案，保证横坐标和纵坐标都不同
题解：
将红点蓝点都排序，记所有点横纵坐标绝对值的\(max\)为\(c\)，构造如下，对于第\(i\)个红点和第\(i\)个蓝点，\((r_i.x,r_i.y)-(r_i.x,c+i)-(-c-i,c+i)-(-c-i,-c-i)-(b_i.x,-c-i)-(b_i.x,b_i.y)\)
H.Lighthouses
题目大意：
二维平面上有\(n\)个点，保证这些点构成一个凸包，在这些点之间有连边，要求出一条最长的路径，使得走过的边没有相交，\(n \leq 300\)
题解：
考虑一条边走完后再向中间的点走这种情况，会发现再也不能走出。这是个很显然的区间dp模型，记\(f_{i,j,0/1}\)表示第一步走\((i,j)\)这条路径，方向是\(i->j\)或\(j->i\)的方案数，复杂度为\(O(n^3)\)
I.Sum of Palindromes
题目大意：
给定数\(S\)，将其分成不超过\(25\)个回文数的和，\(S\)的位数小于等于\(10^5\)
题解：
每次对着前面一半构造，这样的次数大概是\(O(\log 10^5)\)的
J.Space Gophers
题目大意：
有一个大正方体，中间挖去\(n\)个形如\((x,y,\forall z),(x,\forall y,z),(\forall x,y,z)\)的长方体，\(T\)次询问两点是否连通，\(n,T \leq 3 \cdot 10^5\)
题解：
考虑如何方便的表示这些空洞的连接关系，如果有\((x,y,\forall z)\)，那么他会与\((\forall x,y,z)\)与\((x,\forall y,z)\)的空洞，连接这里\(z\)不重要，我们通过建虚点来减小连边复杂度，然后染色即可，复杂度为\(O(n \log n)\)，瓶颈在于给点编号
K.To argue, or not to argue
题目大意：
给定一个\(n*m\)矩阵，表示可用的座位，有\(k\)对人不能坐在一起（每个人都不同），问合法方案数，\(n \cdot m \leq 144\)
题解：
我们求出至少\(i\)对相邻的方案数来容斥，问题转化为在矩阵中选恰好i对相邻的座位的方案数。考虑轮廓线dp，设\(f_{i,j,msk}\)表示考虑了前\(i\)个位置（原来的变成\(n*(y-1)+x\)的形式），选了\(j\)对，轮廓线上利用状况为\(msk\)的方案数。复杂度为\(O((nm)^2 2^{min(n,m)})\)
L.Wizards Unite
题目大意：
\(n\)个箱子，\(k\)把银钥匙，\(1\)把金钥匙，每个箱子需要一定时间打开，只有金钥匙可以多次使用，求最短时间，\(n \leq 10^5\)
题解：
贪心，时间最大的\(k\)个箱子用银钥匙，复杂度为\(O(n \log n)\)
