codeforces 455E

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/455/E

题意：给定数组a，及f的定义：

        f[1][j] = a[j];  1 <= j <= n

        f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + a[j];  2 <= i <= j <= n

 给定q个询问，每个询问为l,r,求f[l][r]

My solution:

1.  写一些小数据就可以发现，其实对于一个询问l,r,其实等价于：

              从[r-l+1, r]这个区间内取l个数，使其和最小。但是比较特殊的是，一个数可以取多次，并且如果取了一个x，那么[x+1,r]间的所有数必须得取。

             例如，对于n=3， a = {2, 1, 3}

             询问l=3, r=3的取法有：3+3+3=9， 3+3+1=7, 3+1+1=5, 3+1+2= 6；答案为3+1+1=5

     2.设答案f[l][r]的询问答案合法区间是在[x, r]这一段取得的，我们还可以发现如下的性质：

          1)a[x]一定是[x,r]中最小的，否则存在 x<=y<=r, a[y] <= a[x],比[x,r]更优的区间[y, r]

             除[y, r]的共同区间外，剩下的l-y-r个[y,r]区间可以全取a[y]，显然比[x,r]更小

          2)a[x+1]~a[y]各取一个，剩下的全取a[x]，因为a[x]是区间最小元素，取越多答案越小

      3.基于2我们可以维护一个递增的序列来求答案，但是这样还是不够，妥妥TlE

        只能看下决策之间有什么关系了；

        对于询问（l,r)不妨设两个决策k<j,并且决策k优于j

        那么 (sum[r] - sum[k]) - (l - (r - k)) * a[k] <= (sum[r] - sum[j]) - (l - (r - j)) * a[j];

        整理一下式子：

                  (sum[k] - a[k]*k) - (sum[j] - a[j]*j) / (a[k] - a[j]) <= l - r;

        这不就是个斜率的式子，剩下的就是维护一个凸壳即可

        4.具体的话对于询问按照r排序，然后离线做

           然后二分一左边界，找到合法区间完，再二分找到合法的斜率。具体看代码吧

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <fstream>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <ctime>
#include <utility>
#define M0(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define x first
#define y second
#define vii vector< pair<int, int> >::iterator 
using namespace std;
const int maxn = 100010;
vector< pair<int, int> > ask[maxn];
int n, m;
long long sum[maxn], ans[maxn];
int s[maxn], top, a[maxn];

inline double slope(int k, int j){
      double yk = sum[k] - (double)k * a[k], yj = sum[j] - (double)j * a[j];
      return (yk - yj) / (a[k] - a[j]);
}

void init(){
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", a+i), sum[i] = sum[i-1] + a[i];
    for (int i = 0; i <= n; ++i) ask[i].clear();
    scanf("%d", &m);
    int l, r;
    for (int i = 0; i < m; ++i){
         scanf("%d%d", &l, &r);
         ask[r].pb(mp(l, i));
    }
}

void solve(){
    int top = 0;
    int l, r, mid, pos;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
          while (top > 0 && a[s[top]] >= a[i]) --top;
          while (top > 1 && slope(s[top], i) >= slope(s[top-1], i)) --top;
          s[++top] = i;
          for (vii it = ask[i].begin(); it != ask[i].end(); ++it){
                l = lower_bound(s+1, s+top+1, i-it->x+1) - s;
                r = top-1, pos = i;
                while (l <= r){
                      mid = (l + r) >> 1;
                      if (slope(s[mid], s[mid+1]) <= it->x - i) pos = s[mid], r = mid - 1;
                      else l = mid + 1;
                }
                ans[it->y] = sum[i] - sum[pos] + (long long)a[pos]*(it->x+pos-i);
          }    
    }
    for (int i = 0; i < m; ++i)
       printf("%I64d\n", ans[i]); 
}
int main(){
//    freopen("a.in","r",stdin);
//    freopen("a.out","w",stdout);
    while (scanf("%d", &n) != EOF){
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}