第二章作业

一、算法描述

找第 k 小的数，经典分治实现是快速选择算法。它借用快速排序的划分思想，每次只递归包含目标的那一半。

具体过程：

1. 从当前数组中随机选取一个元素作为基准值 pivot。
2. 遍历数组进行划分。小于 pivot 的元素放左侧，大于 pivot 的放右侧，等于 pivot 的集中在中间。统计小于 pivot 的元素个数 cnt。
3. 比较 k 与 cnt：
   · k 等于 cnt + 1，pivot 就是第 k 小，返回。
   · k 小于等于 cnt，第 k 小在左半部分，递归处理左区间。
   · k 大于 cnt + 1，第 k 小在右半部分，递归处理右区间，k 减去 cnt + 1。
4. 重复上述过程，直到找到目标。

二、时间复杂度分析

最好情况： 每次划分均匀分成两半，目标落在其中一半，只需递归一边。问题规模减半。递推关系 T(n) = T(n/2) + O(n)。由主定理得 T(n) = O(n)。这是快速选择能达到的最优复杂度。至少扫描一遍数组才能确定第 k 小。

最坏情况： 每次选取的 pivot 都是当前区间的最大或最小元素。划分极不均匀，每次只能排除一个元素。递推关系 T(n) = T(n-1) + O(n)。展开得 T(n) = O(n²)。数组有序、固定取首元素为 pivot 时最容易出现。

平均情况： 每次随机选 pivot，划分期望均衡。递归深度期望 O(log n)，每层总代价 O(n)。平均时间复杂度 O(n)。随机化引入是为了规避最坏情况。

三、对分治法的体会与思考

分治法核心是“分而治之”。快速选择让我体会到，分治不一定两边都递归，只递归有解的一半，平均复杂度就能降到线性。

分治效率高度依赖划分是否均衡。快速排序和快速选择最坏都会退化为 O(n²)，需要随机化 pivot 避免极端情况。分治法不仅要会“分”，更要设计好的划分策略，否则分治反而会变慢。