随笔分类 -  数论

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扩展Lucas
摘要：Lucas用于模数是质数的情况，如果模数不是质数，就要用到扩展卢卡斯 思想 把模数质因子分解 对于每一个pi^ki做一遍普通Lucas，最后中国剩余定理合并。 要理解的是过程 其实就是算fac的时间更优了（充分利用阶乘的性质就不用O（n）预处理） 结合代码会更好理解~ #include<bits/s 阅读全文
posted @ 2019-08-06 21:15 yyys 阅读(493) 评论(0) 推荐(0)
线性筛筛积性函数
摘要：概念 定义域为正整数的函数是数论函数。 设p，q互质，f[p*q]=f[p]*f[q]，称f为积性函数。如约数，欧拉，莫比乌斯。 任意p，q，f[p*q]=f[p]*f[q]，称f为完全积性函数。如1函数，即f[i]=1。 我们一般用线性筛就可以预处理积性函数。 欧拉phi void phii() 阅读全文
posted @ 2019-08-01 21:04 yyys 阅读(884) 评论(0) 推荐(0)
整除分块（数论）
摘要：求（n<=1e14） 如果直接枚举d再累加显然是不行的，考虑优化。 因为是下取整，那么⌊m/d⌋可能会等于⌊m/(d+1)⌋，那既然是一样的，为什么要一个个加而不是一块加呢? 有一个结论：⌊n/d⌋只有O（√n）个取值 阅读全文
posted @ 2019-07-31 12:31 yyys 阅读(216) 评论(0) 推荐(0)
2019暑假集训DAY17（problem2.b）（杜教筛）
摘要：题面 式子还是很好推的，显然应该设g[i]=i，和欧拉函数求和是一样的道理，想要把前面的i给抵消掉 注意！取模！ 不然会爆long long 然后一开始的素数取到n^(2/3)是最好的 #include<bits/stdc++.h> #define mod 1000000007 #define LL 阅读全文
posted @ 2019-07-30 21:52 yyys 阅读(167) 评论(0) 推荐(0)
2019暑假集训DAY16（problem2.b）（约数）
摘要：题目大意 给出一个n，求小于等于n中“约数个数”最多的数与个数（n<=1e18） 约数个数与一般不同，举例说明：12 的约数有1 2 3 4 6 12，这些数分别有1 2 2 3 4 6 个约数，那12 有18 个约数的约数。 因为n的范围很大，所以不可以使用朴素做法。 我们这样思考：既然是求约数个 阅读全文
posted @ 2019-07-29 20:50 yyys 阅读(185) 评论(0) 推荐(0)
Prime Distance（求区间素数）
摘要：传送门 这道题，其实思路很简单，但是。。坑是很多的 思路 我们发现L，R很大，但是区间只有1e6。 我们知道，R必定包含一个不超过根号R的质因子，所以只需要用筛法求出2~根号R的所有质数，对于每个质数p，把[L，R]中能被p整除的数标记，即标记i*p为合数，最终[L，R]中没被标记的就是质数，一个一 阅读全文
posted @ 2019-07-21 20:35 yyys 阅读(599) 评论(0) 推荐(0)
逆元
摘要：对于(a/b)%MOD这个式子，是不可以写成(a%MOD/b%MOD)%MOD，但是我们可以通过求b的逆元，转化成乘法运算 方程ax≡1(mod p),的解称为a关于模p的逆，当gcd(a,p)==1（即a，p互质）时，方程有唯一解，否则无解。 有如下几种求逆元的方式 1.递推求逆元 逆元有这样一个 阅读全文
posted @ 2019-03-09 16:49 yyys 阅读(428) 评论(0) 推荐(0)
卢卡斯
摘要：C(n, m) % p = (C(n/p, m/p) % p) * (C(n%p, m%p) % p) % p 其实就是这个公式啦！用于组合数求模（通常用于阶乘无法解决的问题） 在此之前，要先了解逆元 inv[i]=-p/i*inv[p%i]，inv[i]是在%p的条件下i的逆元 逆元的阶乘是这么求 阅读全文
posted @ 2019-03-08 21:35 yyys 阅读(240) 评论(0) 推荐(0)
龟速乘
摘要：我们当然都知道，快速幂是个好东西。然鹅快速幂也有bug——如果模数比较大，一乘就容易爆long long，那么就需要使用龟速乘了。 阅读全文
posted @ 2019-03-06 17:46 yyys 阅读(917) 评论(0) 推荐(0)
中国剩余定理（模数不互质）
摘要：上一篇博客写的是中国剩余定理模数互质的情况，然鹅——还存在着模数不互质的情况，而原来的做法就没有办法用了 那我们现在该怎么做呢？ 原来的思路是对于每一个方程，我们找出一个基础数，使得基础数满足该方程要求。因为是互质的关系，所以所有基础数加起来也不会冲突。（这个由最小公倍数保证） 还是这个栗子 存在一 阅读全文
posted @ 2019-03-04 22:04 yyys 阅读(2580) 评论(1) 推荐(0)
中国剩余定理（模数互质）
摘要：中国剩余定理是一个很神奇的定理hhh，用处是求这样的方程组 举个栗子~ 存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数 很显然，我们会这样思考：可以先找一个数，满足除以3余2（比如2），再去判断是否这个数是否满足第二个条件：除以5余3，如果不满足，再加上一个3，满足了第二个条件后，再 阅读全文
posted @ 2019-03-04 16:30 yyys 阅读(1078) 评论(0) 推荐(0)
扩展欧几里得
摘要：以前模模糊糊地学了扩欧，总是感觉不系统，今天好好整理了一下，应该算是把扩欧给弄透。 首先要先明白gcd（最大公约数），很重要的是辗转相除法，即gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 板子是这样 然后就是扩欧 根据裴蜀定理： ax + by = m 有解当且仅当m是gcd的倍数。裴蜀等式有解时必然有无 阅读全文
posted @ 2019-03-03 15:59 yyys 阅读(236) 评论(0) 推荐(0)
欧拉定理
摘要：参考https://www.jianshu.com/p/8a27f0462d09 对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1） φ函数的值： φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1 阅读全文
posted @ 2019-03-02 15:35 yyys 阅读(1811) 评论(0) 推荐(0)

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