【csp2019模拟赛tkh】T1_excatalan

<前言>

（这只是一个我们自己的模拟赛啊。。。）

大佬们可以看看题目。

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<正文>

简要题意：

求n对括号匹配中恰好有m对失配的方案数。

\(Solution\)

扯 题外 话：

首先，我们发现n对括号恰好完全匹配的方案数就是卡特兰数，这个应该是一个常识了（然而我在考试的时候没想出来。。。）

再看看文件名，扩展卡特兰数，说明我们思路对了但是我们要的是恰好有m对失配的情况，这咋搞呢。

实际上看似不可做，在求卡特兰数的时候魔改一下公式就可以啦。

然而为什么呢？

有一种求卡特兰数的方法叫折线法。

这种方法有什么妙用呢？

我们知道一个卡特兰数的模型：在n*n矩阵上不过对角线的左下角到右上角的方案数就是第n项卡特兰数了。

还有一个模型是进出栈的问题，合法出栈顺序数。

我们把坐标轴倾斜一下，把对角线贴在x轴上，发现等价于不过x轴的，从原点到2n合法方案数。其中我们走的是一条折线，向上倾表示进栈，下斜表示一次出栈。

为什么是2n呢？具体我也不会证明，大概就是原本对角线是不能经过的，现在可以经过就要改变终点。

（以下内容参考这里）

上面有图，可以帮助理解。

整个过程认为是从坐标（0,0）走到（2n，0）。因为栈内必须要有元素，所以，折线不能在x轴下方，这样才是合法的。

不合法的方案呢？就是跨过了x轴，但仍然最终到达了终点的方案。

好的现在我们引入了这个模型，那么根据一些小知识合法方案=总方案-非法方案。

现在我们要求总方案。

即2n次操作，操作种类为2，要求每种操作次数相同，那相当于一个组合数问题，即\(\frac {(2n)!}{n! \times n!}\),也可以写成\(\binom{2n}{n}\)

接下来考虑非法方案。

即至少有一时刻折线处于x轴下方。

• 对于任意跨越x轴的情况，必有将与\(y=-1\)相交。

• 找出第一个与\(y=-1\)相交的点k，将k点以右的折线根据\(y=-1\)对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从\(（2n，0）\)对称到\(（2n，-2）\)。\

• 由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从\(（0,0）\)到\(（2n,-2）\)的折线总数。

  而后者的操作2比操作1要多\(0-（-2）=2\)次。即操作1为n-1,操作2为n+1。

• 总数为\(\binom{2n}{n-1}\)。

接下来减一下就可以发现卡特兰数的通项公式了。

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本题题解：

讲了这么多，和这题有什么关系呢？

正常卡特兰数不能越过\(y=0\)线，相当于没有任何一次可以失配的机会。

本题所求的恰好m对失配，由折线法可以证明是\(\binom{2n}{n-m}-\binom{2n}{n-m-1}\)

就好像差分一样嘛！

这个推广恰好符合扩展卡特兰数，就是正解了。。（然而我考场上还是不会）

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<后记>

AFO，没什么可说的