逆序

一、一维背包问题中的逆序与顺序

1. 0-1背包问题（逆序更新）

问题描述：

• 背包容量为 C，物品体积为 w[i]，价值为 v[i]。
• 每个物品只能选一次，求最大价值。

关键点：

• 逆序遍历容量（从 C 到 w[i]）保证每个物品只被选一次。

代码示例：

int[] dp = new int[C + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = C; j >= w[i]; j--) { // 逆序更新
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

原理分析：

• 假设当前处理物品 i，容量 j 从高到低遍历。
• 当计算 dp[j] 时，dp[j - w[i]] 是尚未被本次物品更新的旧值（即未包含当前物品 i 的状态）。
• 这样确保每个物品只被选一次。

2. 完全背包问题（顺序更新）

问题描述：

• 物品可以无限次选择。

关键点：

• 顺序遍历容量（从 w[i] 到 C）允许重复选择。

代码示例：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = w[i]; j <= C; j++) { // 顺序更新
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

原理分析：

• 当计算 dp[j] 时，dp[j - w[i]] 可能已经被本次物品更新过。
• 这意味着可以重复选择当前物品 i。

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二、二维背包问题中的逆序更新

问题描述：

• 背包有两个限制：体积 m 和重量 q。
• 物品有体积 s[i]、重量 w[i] 和价值 v[i]。
• 每个物品只能选一次。

关键点：

• 双重逆序更新：同时对体积和重量两个维度逆序遍历。

代码示例：

int[][] dp = new int[q + 1][m + 1];
for (int k = 0; k < n; k++) { // 遍历物品
    for (int i = q; i >= s[k]; i--) { // 逆序体积
        for (int j = m; j >= w[k]; j--) { // 逆序重量
            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - s[k]][j - w[k]] + v[k]);
        }
    }
}

原理分析：

• 逆序遍历确保在更新 dp[i][j] 时，dp[i - s[k]][j - w[k]] 是未包含当前物品 k 的旧值。
• 如果顺序更新，dp[i - s[k]][j - w[k]] 可能已经被当前物品污染，导致重复选择。

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三、具体例子演示

例1：一维背包问题

假设物品参数：w[0] = 2, v[0] = 5，背包容量 C = 4。

逆序更新过程：

初始状态: [0, 0, 0, 0, 0]
处理物品0（体积2，价值5）:
j=4: dp[4] = max(0, dp[4-2]+5) = max(0, 0+5) = 5
j=3: dp[3] = max(0, dp[1]+5) = 0
j=2: dp[2] = max(0, dp[0]+5) = 5
最终状态: [0, 0, 5, 0, 5]

• 物品0被选一次，最大价值为5。

顺序更新过程：

初始状态: [0, 0, 0, 0, 0]
处理物品0（体积2，价值5）:
j=2: dp[2] = max(0, dp[0]+5) = 5
j=3: dp[3] = max(0, dp[1]+5) = 0
j=4: dp[4] = max(0, dp[2]+5) = 10
最终状态: [0, 0, 5, 0, 10]

• 物品0被重复选择两次，价值错误地达到10。

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例2：二维背包问题

假设物品参数：s[0] = 2（体积），w[0] = 1（重量），v[0] = 5，背包限制 m=3（体积）、q=2（重量）。

逆序更新过程：

初始状态（q=2, m=3）: dp[2][3] = 0
处理物品0:
i从2到2（体积限制），j从3到1（重量限制）:
dp[2][3] = max(0, dp[0][2] + 5) = 5
最终状态: dp[2][3] = 5

• 物品0被正确选一次。

顺序更新过程：

假设顺序更新 i=2→2, j=1→3:
第一次 j=1: dp[2][1] = 0 → 无变化
j=2: dp[2][2] = max(0, dp[0][1]+5) = 5
j=3: dp[2][3] = max(0, dp[0][2]+5) = 5
此时，再次处理物品0时可能重复选择（但代码中物品循环在外层，顺序更新会导致错误）。

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四、核心总结

更新方式	适用场景	数据依赖关系	是否允许重复选择
逆序更新	0-1背包问题	使用未污染的历史状态（旧值）	否
顺序更新	完全背包问题	使用可能被污染的最新状态（新值）	是

• 逆序更新保护了历史状态，确保每个物品只被选一次。
• 顺序更新允许状态被多次覆盖，从而实现重复选择。

通过调整遍历顺序，可以灵活控制物品的选择策略，这是动态规划在背包问题中的精髓。