上界与上确界

“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念.考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界.
在所有那些上界中如果有一个最小的上界,就称为M的上确界.
一个有界数集有无数个上界和下界,但是上确界却只有一个.
有界集合S,如果β满足以下条件
（1）对一切x∈S,有x≤β,即β是S的上界；
（2）对任意aa,即β又是S的最小上界,
则称β为集合S的上确界,记作β=supS
在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”.