第一章习题参考答案

第一章习题参考答案公布了，请各位奔走相告~

 

1. (D)

令\(t = \frac{1}{x-1}\)，则当\(x \to 1^+\)时，\(t \to +\infty\)，原式极限为\(+\infty\)；当\(x \to 1^-\)时，\(t \to -\infty\)，原式极限为0。因此左右极限不相等，极限不存在。

 

2. (D)

当\(x = k\pi\)时，\(f(x) = 0\)；当\(x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\)时，\(f(x) = x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\)趋于正无穷。因此\(f(x)\)无界，但不是无穷大。

 

3. 4

将\(\mathrm{e}^{x^2}\)展开成泰勒级数可知，\(1 + x^2 - \mathrm{e}^{x^2} = -\frac{1}{2} x^4 + o(x^4)\)，故为4阶无穷小。

 

4. \(\frac{3}{2}\)

\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{3\sin x + x^2\cos \frac{1}{x}}{(1 + \cos x) \ln (1 + x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3\sin x + x^2\cos \frac{1}{x}}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3\sin x}{2x} + \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cos \frac{1}{x}}{2} = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}\)

 

5. \(\frac{1}{2}\)

放缩。原式\(\leq \frac{1}{n^2 + 1} (1 + 2 + \cdots + n) = \frac{n(n + 1)}{2(n^2 + 1)} \to \frac{1}{2}\)；

同时，原式\(\geq \frac{1}{n^2 + n} (1 + 2 + \cdots + n) = \frac{n(n + 1)}{2(n^2 + n)} \to \frac{1}{2}\)。

由夹逼法则可知，原式的极限必为\(\frac{1}{2}\)。

 

6. \(a = 1, b = -4\)

当\(x \to 0\)时，\(\sin x \to 0, \cos x - b \to 1 - b\)，因此必有\(\mathrm{e}^x - a \to 0\)，从而\(a = 1\)，所以\(1 - b = 5, b = -4\)。

 

7. \(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)

首先证明该数列单调递增有上界。显然\(x_n \geq 0\)。所以，\(x_n < \frac{2 + 2x_{n-1}}{1 + x_{n-1}} = 2\)，上界存在。

\(x_{n+1} - x_n = \frac{1 + 2x_n}{1 + x_n} - \frac{1 + 2x_{n-1}}{1 + x_{n-1}} = \frac{x_n - x_{n-1}}{(1 + x_n)(1 + x_{n-1})}\)，这意味着对于任意\(n\)，\(x_{n+1} - x_n\)与\(x_n - x_{n-1}\)同号。又由于\(x_1 - x_0 > 0\)，因此\(x_{n+1} - x_{n} > 0\)，即该数列单调递增。

由于该数列单调递增有上界，所以可以令\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a\)。在递推公式的左右两边同时取极限可知，\(a = \frac{1 + 2a}{1 + a}\)，得\(a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)（负根舍去）。

 

8. \(a \neq 1, b = \mathrm{e}\)

 \(\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} - b}{(x - a)(x - 1)} = \frac{-b}{a}, \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} - b}{(x - a)(x - 1)} = \frac{+\infty}{a}\)，那么不管\(a\)取什么值，\(x \to 0^+\)时的极限总是无穷大，因此\(x = 0\)总是\(f(x)\)的无穷间断点。

由于\(x = 1\)是可去间断点，因此分子必定趋于0，必有\(b = \mathrm{e}\)。但此时，\(\lim\limits_{x \to 1} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} - \mathrm{e}}{(x - a)(x - 1)} = \frac{-\mathrm{e}}{1 - a}\)，那么必须\(1 - a \neq 0\)，即\(a \neq 1\)。