算法第四章作业

一、选点问题
贪心策略：按区间右端点升序排序，每次选择当前没有被覆盖的区间中最小的右端点作为选点。
具体步骤：
将所有区间按右端点 bi 从小到大排序，初始化计数器和上一个选点位置：count = 1（至少需要一个点），last_point = 第一个区间的右端点
遍历后续每个区间：如果当前区间的左端点 ai > last_point，新增一个点，count++，更新 last_point = 当前区间的右端点 bi
贪心选择性质证明：
1.最优子结构：
设原问题的最优解包含 k 个点，去掉第一个区间和第一个选点后，剩余区间的最优解为 k-1 个点，子问题具有最优解性质。
2.贪心选择性质：
设所有区间按右端点排序后为 I1, I2, ..., In，选择 I1 的右端点 P = b1 作为第一个点
证明这个选择是最优的：
P 覆盖所有左端点 ≤ b1 的区间
假设存在另一个点 Q < b1,Q 可能无法覆盖 I1（因为 I1 的左端点可能 > Q）
即使 Q 能覆盖 I1，它覆盖的区间不会比 P 更多（因为 P 是最右的覆盖点）
假设存在另一个点 R > b1,R 肯定能覆盖 I1（因为 I1 的右端点是 b1，而 R > b1）,但 R 可能比 P 更晚出现，使得后续需要更多点,因此选择最小的右端点是最优的
时间复杂度：O（nlogn）

二、对贪心算法的理解
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优（最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最优的算法策略。
贪心算法的适用条件：
贪心选择性质：可以通过局部最优选择构造全局最优解
最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解