Lucas定理学习笔记

一个有趣的问题

题目大意

  给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数。

Subtask#1  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{3}$

  直接杨辉恒等式$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$递推。

  时间复杂度$O(n^{2})$。

Subtask#2  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{6},p = 10^{9} + 7$

  用式子$C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$来计算。

  直接算阶乘,用快速幂或扩欧求逆元即可。

  时间复杂度$O(n + \log n)$

Subtask#3 $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 10^{9},p\leqslant 10^{6}$且$p$为质数。

  好吧,现在引入正题。

定理1(Lucas定理) 当$p$是一个质数时,$n = k_{1}p + r_{1}, m = k_{2}p + r_{2} \left ( 0\leqslant r_{1},r_{2} < p \right )$,则有$C_{n}^{m} \equiv C_{k_{1}}^{k_{2}}C_{r_{1}}^{r_{2}} \pmod{p}$

  考虑怎么使用它。

  对于每次操作的$r_{1}$和$r_{2}$都是小于$p$的,这个可以直接用Subtask 2的方法来做。

  然后剩下的$C_{k_{1}}^{k_{2}}$就递归处理。

  这很简单,就不给代码了。

  现在来考虑Lucas定理的证明。

  首先你需要一个二项式定理。

定理2(二项式定理) 当$n$是一个非负整数时,则有,$\left (a + b  \right ) ^{n} = \sum_{i = 0} ^{n}C_{n}^{i}a^{i}b^{n - i}$

  证明 考虑使用数学归纳法来证明。

  当$n = 1$的时候,显然成立。

  假设当$n = k - 1$的时候成立,考虑当$n = k$的时候

$\left (a + b  \right )^{k} = \left ( a + b \right )^{k - 1}\left ( a + b \right )\\=\left ( \sum_{i = 0}^{k - 1}C_{k-1}^{i}a^{i}b^{k - i - 1} \right )(a + b)\\=\sum_{i = 1}^{k}C_{k - 1}^{i - 1}a^{i}b^{k - i} + \sum_{i = 0}^{k - 1}C_{k - 1}^{i}a^{i}b^{k - i}\\=C_{k - 1}^{k - 1}a^{n} + \sum_{i = 1}^{k - 1}\left ( C_{k - 1}^{i - 1} + C_{k - 1}^{i} \right )a^{i}b^{k - i} + C_{k - 1}^{0}b^{n}\\=\sum_{i = 0}^{k} C_{k}^{i} a^{i}b^{k - i}$

  因此,定理得证。

定理3 若$p$为质数,若有整数$k$满足$1\leqslant k < p$,则有$p \mid C_{p}^{k}$

   根据式子$C_{p}^{k} = \frac{p!}{k!\left( p - k \right)!}$和素数的定义易证。

推论4 若$p$为质数,则$\left ( 1 + x\right )^{p}\equiv 1 + x^{p} \pmod{p}$。

  根据定理3和二项式定理易证。

  现在来考虑Lucas定理的证明。

  Lucas定理的证明

$\left ( 1 + x\right )^{n}\\\equiv \left ( 1 + x \right )^{k_{1}p}\left( 1 + x\right )^{r_{1}} \\\equiv \left ( 1 + x^{p} \right )^{k_{1}}\left( 1 + x\right )^{r_{1}}\\\equiv \left ( \sum_{i = 0}^{k_{1}}C_{k_{1}}^{i}x^{pi} \right )\left (   \sum_{i = 0}^{r_{1}}C_{r_{1}}^{i}x^{i} \right )\\\equiv \sum_{i = 0}^{k_{1}}\sum_{j = 0}^{r_{1}}C_{k_{1}}^{i}C_{r_{1}}^{j}x^{pi + j} \pmod{p}$

  然后考虑$x^{m}$的系数,同余式左边显然是$C_{n}^{m}$,右边是$C_{k_{1}}^{k_{2}}C_{r_{1}}^{r_{2}}$,因此定理得证。

扩展Lucas算法

  继续回到上面的问题。

Subtask#4 $0 \leqslant m \leqslant n \leqslant 10^{7},p\leqslant 10^{9}$

   继续考虑组合数的计算公式$C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$,考虑将$n!, m!, (n - m)!$质因数分解,这样直接就可以指数相加减,最后乘起来就好了。

  考虑怎么数$n!$中质因子$p$的指数。

  我们知道$n! = 1\times 2\times 3 \times \cdots \times n$,其中是$p$的倍数的是$p, 2p, 3p, \cdots$,考虑将这些$p$除掉,然后它会变成$1, 2, 3, \cdots, \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$。这是一个规模更小的子问题,递归处理即可。时间复杂度$O(log_{p}n)$。

  可以用线性筛先预处理$10^{7}$以内的素数,然后考虑$n!$的时候对小于$n$的每个素数去跑一次这个算法,因为$n$以内约有$\frac{n}{\log n}$个素数,所以时间复杂度为$O(n)$。

Subtask#5 $0 \leqslant m \leqslant n \leqslant 10^{9},p\leqslant 10^{9}$,若将$p$质因数分解得到:$p = p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$,,则对于任意$i = 1, 2, 3,\cdots, k$都有$p_{i}^{a_{i}}\leqslant 10^{5}$

  数据范围怎么越来越不友好了?话说后面那一大句又是什么奇怪的性质?

  继续考虑直接暴力,上面通过质因数分解的方法已经不可行。

  以上NB的方法是阶乘加逆元对吧?因为模数不一定是质数,所以和$n$之类的不一定互质,也就是说逆元可能不存在。

  设答案为$x$,那么可以将原问题拆成$k$个子问题:

$\left\{\begin{matrix}x\equiv C_{n}^{m} \pmod{p_{1}^{a_{1}}} \\ x\equiv C_{n}^{m} \pmod{p_{2}^{a_{2}}}\\ \vdots \\  x\equiv C_{n}^{m} \pmod{p_{k}^{a_{k}}}\end{matrix}\right.$

  这有什么卵用?

  假如能够把$p_{i}$抽出去单独计算,剩下就可以"快速阶乘",因为此时和模数互质,所以可以直接用逆元在模意义下做除法。最后用中国剩余定理合并。

  把$p_{i}$抽出去可以用上面的方法进行计算。

  现在考虑如何快速计算模$p_{i}^{a_{i}}$下,被抽取所有有关$p_{i}$的因子的$n!$。

  我们直接暴力枚举$1$ ~ $p_{i}^{a_{i}}$中间的数,然后暴力将不是$p_{i}$的倍数的数乘起来,对于中间在模意义下是一样的,快速幂乘一乘,最后末尾的暴力做一下。

  然后把是$p_{i}$的倍数的除掉一个$p_{i}$,这样问题的规模会变小,递归处理即可

  举个例子有助于说明:

假设$p_{i} = 3, a_{i} = 2, n = 19$,那么要计算的是:$1 \times 2\times 3 \times 4 \times 5\times 6 \times 7 \times 8 \times 9\times 10 \times 11  \times 12\times 13 \times 14 \times 15 \times 16 \times 17 \times 18 \times 19$

显然它同余于$\left (1 \times 2\times 4 \times 5 \times 7 \times 8   \right )\times \left (1 \times 2\times 4 \times 5 \times 7 \times 8   \right ) \times 1 \times 3\times \left ( 1 \times 2\times 3 \times 4 \times 5\times 6 \right )$

前面的用快速幂,末尾余下的暴力算,后面的递归处理。

  时间复杂度O(能过)

  没错,这就是扩展Lucas,我很好奇它和Lucas有什么关系。这明明就是依赖特殊性质的暴力qwq。

  最后附上代码。

Code

  1 /**
  2  * bzoj
  3  * Problem#2142
  4  * Accepted
  5  * Time: 372ms
  6  * Memory: 1292k
  7  */
  8 #include <bits/stdc++.h>
  9 #ifndef WIN32
 10 #define Auto "%lld"
 11 #else
 12 #define Auto "%I64d"
 13 #endif 
 14 using namespace std;
 15 typedef bool boolean;
 16 
 17 #define ll long long
 18 
 19 int qpow(int a, int pos, int m) {
 20     int pa = a, rt = 1;
 21     for ( ; pos; pos >>= 1, pa = pa * 1ll * pa % m)
 22         if (pos & 1)
 23             rt = rt * 1ll * pa % m;
 24     return rt;
 25 }
 26 
 27 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y) {
 28     if (!b)
 29         d = a, x = 1, y = 0;
 30     else {
 31         exgcd(b, a % b, d, y, x);
 32         y -= (a / b) * x;
 33     }
 34 }
 35 
 36 ll inv(ll a, ll n) {
 37     ll d, x, y;
 38     exgcd(a, n, d, x, y);
 39     return (x < 0) ? (x + n) : (x);
 40 }
 41 
 42 ll p;
 43 int n, m, k;
 44 int top = 0;
 45 int w[8];
 46 int fac[65];
 47 int val[65];
 48 
 49 inline void init() {
 50     scanf(Auto"%d%d", &p, &n, &m);    
 51     ll ws = 0;
 52     for (int i = 1; i <= m; i++) {
 53         scanf("%d", w + i);
 54         ws += w[i]; 
 55     }
 56     if (ws > n) {
 57         puts("Impossible");
 58         exit(0);
 59     } 
 60     k = ws;
 61 }
 62 
 63 void getFactors(ll x) {
 64     for (int i = 2; x != 1; i++) {
 65         if (!(x % i)) {
 66             fac[++top] = i, val[top] = 1;
 67             while (!(x % i))    val[top] *= i, x /= i;
 68         }
 69     }
 70 }
 71 
 72 int getPos(int n, int p) {
 73     int rt = 0;
 74     while (n)    rt += (n /= p);
 75     return rt;
 76 }
 77 
 78 int calc(int n, int p, int pr) {
 79     if (!n)    return 1;
 80     int rt = 1;
 81     for (int i = 1; i < pr; i++)
 82         if (i % p)
 83             rt = rt * 1ll * i % pr;
 84     rt = qpow(rt, n / pr, pr); 
 85     for (int i = 1; i <= n % pr; i++)
 86         if (i % p)
 87             rt = rt * 1ll * i % pr;
 88     return rt * 1ll * calc(n / p, p, pr) % pr;
 89 }
 90 
 91 ll exLucas(int n, int m, ll ap) {
 92     ll rt = 0, C;
 93     for (int i = 1, t1, t2, t3, r1, r2, r3, p, pr; i <= top; i++) {
 94         p = fac[i], pr = val[i];
 95         r1 = getPos(n, p), r2 = getPos(m, p), r3 = getPos(n - m, p);
 96         t1 = calc(n, p, pr), t2 = calc(m, p, pr), t3 = calc(n - m, p, pr);
 97         C = ((t1 * inv(t2, pr) % pr) * inv(t3, pr) % pr * 1ll * qpow(p, r1 - r2 - r3, pr)) % pr;
 98         rt = (rt + (((ap / pr) * inv(ap / pr, pr) % ap) * C % ap)) % ap;
 99     }
100     return rt;
101 }
102 
103 inline void solve() {
104     getFactors(p);
105     ll C = exLucas(n, k, p);
106     for (int i = 1; i <= m; i++) {
107         C = C * exLucas(k, w[i], p) % p;
108         k -= w[i];
109     }
110     printf(Auto, C); 
111 }
112 
113 int main() {
114     init();
115     solve();
116     return 0;
117 }
posted @ 2018-02-28 16:37  阿波罗2003  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏