bzoj 4770 图样 - 概率与期望 - 动态规划

题目传送门

　　传送门I

　　传送门II

题目大意

　　有一个$n$个点的完全图，每个点的权值是$[0, 2^{m})$中的随机整数，两点间的边的权值是两点点权的异或和，问它的最小异或生成树的边权和的期望。

　　考虑求最大异或生成树的分治做法，每次按最高位分成$V_0,V_1$两个集合（如果不行，那么这一层就不管）。

　　然后再中间选一条最小边连接两个集合。两个集合分别再分治下去。

　　现在我们希望求到中间这条最小边的边权的期望。

　　直接求不好求，考虑换个方式统计。

　　设$h_{n,m,bit,lim}$表示在第$bit + 1$位将图分成$X,Y$两个集合，其中$|X| = n, |Y| = m$，两个集合间的所有边的边权都大于等于$lim$的方案数（或概率）。

　　转移的时候讨论一下

• $lim$在第$bit$位为0
  • 如果$X,Y$中的点在$bit$位，一个集合中全为0，另一个集合中全为1，那么剩下的位可以任意填。
  • 否则枚举$X,Y$中分别有多少个点在第$bit$位为1，然后将集合又分为$X_0, X_1, Y_0, Y_1$，显然最小边连在$X_0, Y_0$之间或者$X_1,Y_1$之间，这是一个子问题，可以通过这个子问题的答案转移，再乘上组合数。
• $lim$在第$bit$位为1
  • 此时$X,Y$中的点在$bit$位一定满足一个集合中全为0，另一个集合中全为1，直接通过它转移。

　　统计期望或每种情况的边权和的时候做一个和就求出来了。

　　设$f_{i, j}$表示有一个$i$个点的完全图，每个点的权值是$[0, 2^{j})$中的随机整数时的所有方案的答案和。

　　显然能通过枚举$X_1$集合的大小来转移。

　　复杂度令人绝望（据说常数小就能卡过去）。但是$n,m$都比较小，打个表交上去就过了。

Code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef bool boolean;

const int N = 55, M = 9, S = 1 << M;
const int Mod = 258280327;

int add(int a, int b) {
    return ((a += b) >= Mod) ? (a - Mod) : (a);
}

int sub(int a, int b) {
    return ((a -= b) < 0) ? (a + Mod) : (a);
}

int mul(int a, int b) {
    return a * 1ll * b % Mod;
}

int qpow(int a, int p) {
    int pa = a, rt = 1;
    for ( ; p; p >>= 1, pa = mul(pa, pa))
        if (p & 1)
            rt = mul(rt, pa);
    return rt;
}

int inv(int a, int n) {
    return qpow(a, n - 2);
}

int n, m;
int f[N][N];
int comb[N][N];
int pow2[N * M];
int h[N][N][M][S];

inline void init() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    comb[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
            comb[i][j] = add(comb[i - 1][j - 1], comb[i - 1][j]);
    }
    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= (n + 1) * (m + 1) + 1; i++)
        pow2[i] = add(pow2[i - 1], pow2[i - 1]);
}

int dp(int n, int m, int bit, int lim) {
    if (!bit)
        return !lim;
    if (!n || !m)
        return pow2[(n + m) * bit];
    int& rt = h[n][m][bit][lim];
    if (~rt)
        return rt;
    if ((lim >> (bit - 1)) & 1) {
        rt = dp(n, m, bit - 1, lim ^ (1 << (bit - 1)));
        rt = add(rt, rt);
    } else { 
        rt = pow2[(n + m) * (bit - 1) + 1];
        for (int x = 0; x <= n; x++)
            for (int y = 0; y <= m; y++) {
                if ((!x && y == m) || (!y && x == n))
                    continue;
                int a = dp(x, y, bit - 1, lim);
                int b = dp(n - x, m - y, bit - 1, lim);
                rt = add(rt, mul(mul(a, b), mul(comb[n][x], comb[m][y])));
            }
    }
    return rt;
}

int g(int n, int m, int bit) {
    int rt = 0;
    for (int i = 1; i < pow2[bit]; i++)
        rt = add(rt, dp(n, m, bit, i));
//    cerr << n << " " << m << " " << rt << " " << bit << '\n';
    return rt;
}

inline void solve() {
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int& val = f[i][j];
            val = add(f[i][j - 1], f[i][j - 1]);
            for (int cnt = 1, tmp; cnt < i; cnt++) {
                tmp = mul(f[cnt][j - 1], pow2[(i - cnt) * (j - 1)]);
                tmp = add(tmp, mul(f[i - cnt][j - 1], pow2[cnt * (j - 1)]));
                tmp = add(tmp, g(cnt, i - cnt, j - 1));
                tmp = add(tmp, pow2[(i + 1) * (j - 1)]);
//                printf("tmp %d %d  %d= %d\n", i, j, cnt, tmp);
                val = add(val, mul(tmp, comb[i][cnt]));
            }
//            printf("f[%d][%d] = %d\n", i, j, f[i][j]);
        }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            printf("\tf[%d][%d] = %d;\n", i, j, mul(f[i][j], inv(pow2[i * j], Mod)));
        }
    }
}

int main() {
    freopen("young.txt", "w", stdout);
    init();
    solve();
    return 0;
}