深入解析:P4779 【模板】单源最短路径(标准版)
P4779 【模板】单源最短路径(标准版)
题目背景
2018 年 7 月 19 日,某位同学在 NOI Day 1 T1 归程 一题里非常熟练地使用了一个广为人知的算法求最短路。
然后呢?
100 → 60 100 \rightarrow 60 100→60;
Ag → Cu \text{Ag} \rightarrow \text{Cu} Ag→Cu;
最终,他因此没能与理想的大学达成契约。
小 F 衷心祝愿大家不再重蹈覆辙。
题目描述
给定一个 n n n 个点, m m m 条有向边的带非负权图,请你计算从 s s s 出发,到每个点的距离。
数据保证你能从 s s s 出发到任意点。
输入格式
第一行为三个正整数
n
,
m
,
s
n, m, s
n,m,s。
第二行起
m
m
m 行,每行三个非负整数
u
i
,
v
i
,
w
i
u_i, v_i, w_i
ui,vi,wi,表示从
u
i
u_i
ui 到
v
i
v_i
vi 有一条权值为
w
i
w_i
wi 的有向边。
输出格式
输出一行 n n n 个空格分隔的非负整数,表示 s s s 到每个点的距离。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4
输出 #1
0 2 4 3
说明/提示
样例解释请参考 数据随机的模板题。
1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \leq n \leq 10^5 1≤n≤105;
1 ≤ m ≤ 2 × 1 0 5 1 \leq m \leq 2\times 10^5 1≤m≤2×105;
s = 1 s = 1 s=1;
1 ≤ u i , v i ≤ n 1 \leq u_i, v_i\leq n 1≤ui,vi≤n;
0 ≤ w i ≤ 1 0 9 0 \leq w_i \leq 10 ^ 9 0≤wi≤109,
0 ≤ ∑ w i ≤ 1 0 9 0 \leq \sum w_i \leq 10 ^ 9 0≤∑wi≤109。
本题数据可能会持续更新,但不会重测,望周知。
2018.09.04 数据更新 from @zzq
solution
Dijkstra 算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现,1959 年公开发表。是一种求解非负权图上单源最短路径的算法。
算法步骤:
记源点为 s,s 到任意点 u 的距离记为 d[u], 将已经确定最短路的点加入集合。
1 令 d[s] = 0,其它点为 d[i] = ∞
2 每次取不在 S 中的 d 最小的点 i 加入到 S,并用它松弛其它点,即
d[j] = min(d[j], d[i] + wij)
3 重复 2 直到所有点都属于 S
本题满足单源、非负权的条件,用该算法是效率比较高的算法,用堆优化的话最多可以实现 O(nlogn + m)。本文使用常用用堆优化 + lazy 操作,复杂度为O(mlogn)
代码
#include <iostream>
#include "bit"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "unordered_map"
#include "set"
#include "queue"
#include "algorithm"
#include "bitset"
#include "cstring"
#include "cmath"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9 + 1;
int n, m, s, vis[N];
int d[N];
vector<pair<
int, int>> e[N];
struct node {
int u, dis;
bool operator<
(const node &y) const {
return dis > y.dis;
}
};
priority_queue<node> q;
void dijkstra() {
fill(d + 1, d + n + 1, inf);
d[s] = 0;
q.push({s, 0
});
while (!q.empty()) {
auto [u, dis] = q.top();
q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for (auto [v, w]: e[u]) {
if (d[v] > d[u] + w) {
d[v] = d[u] + w;
q.push({v, d[u] + w
});
}
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m >> s;
for (int i = 0, x, y, w; i < m; i++) {
cin >> x >> y >> w;
e[x].emplace_back(y, w);
}
dijkstra();
for (int i = 1; i <= n; i++) cout << d[i] <<
' ';
return 0;
}