深入解析：P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

题目背景

2018 年 7 月 19 日，某位同学在 NOI Day 1 T1 归程 一题里非常熟练地使用了一个广为人知的算法求最短路。

然后呢？

$100\to 60$；

$\text{Ag}\to \text{Cu}$；

最终，他因此没能与理想的大学达成契约。

小 F 衷心祝愿大家不再重蹈覆辙。

题目描述

给定一个 $n$ 个点，$m$ 条有向边的带非负权图，请你计算从 $s$ 出发，到每个点的距离。

数据保证你能从 $s$ 出发到任意点。

输入格式

第一行为三个正整数 $n,m,s$。
第二行起 $m$ 行，每行三个非负整数 $u_i,v_i,w_i$，表示从 $u_i$ 到 $v_i$ 有一条权值为 $w_i$ 的有向边。

输出格式

输出一行 $n$ 个空格分隔的非负整数，表示 $s$ 到每个点的距离。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4

输出 #1

0 2 4 3

说明/提示

样例解释请参考 数据随机的模板题。

$1\le n\le 10^5$；

$1\le m\le 2\times 10^5$；

$s=1$；

$1\le u_i,v_i\le n$；

$0\le w_i\le 10^9$,

$0\le \sum w_i\le 10^9$。

本题数据可能会持续更新，但不会重测，望周知。

2018.09.04 数据更新 from @zzq

solution

Dijkstra 算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现，1959 年公开发表。是一种求解非负权图上单源最短路径的算法。

算法步骤：

记源点为 s，s 到任意点 u 的距离记为 d[u], 将已经确定最短路的点加入集合。
1 令 d[s] = 0，其它点为 d[i] = ∞
2 每次取不在 S 中的 d 最小的点 i 加入到 S，并用它松弛其它点，即
d[j] = min(d[j], d[i] + wij)
3 重复 2 直到所有点都属于 S

本题满足单源、非负权的条件，用该算法是效率比较高的算法，用堆优化的话最多可以实现 O(nlogn + m)。本文使用常用用堆优化 + lazy 操作，复杂度为O(mlogn)

代码

#include <iostream>
  #include "bit"
  #include "vector"
  #include "unordered_set"
  #include "unordered_map"
  #include "set"
  #include "queue"
  #include "algorithm"
  #include "bitset"
  #include "cstring"
  #include "cmath"
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9 + 1;
  int n, m, s, vis[N];
  int d[N];
  vector<pair<
  int, int>> e[N];
  struct node {
  int u, dis;
  bool operator<
  (const node &y) const {
  return dis > y.dis;
  }
  };
  priority_queue<node> q;
    void dijkstra() {
    fill(d + 1, d + n + 1, inf);
    d[s] = 0;
    q.push({s, 0
    });
    while (!q.empty()) {
    auto [u, dis] = q.top();
    q.pop();
    if (vis[u]) continue;
    vis[u] = true;
    for (auto [v, w]: e[u]) {
    if (d[v] > d[u] + w) {
    d[v] = d[u] + w;
    q.push({v, d[u] + w
    });
    }
    }
    }
    }
    int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 0, x, y, w; i < m; i++) {
    cin >> x >> y >> w;
    e[x].emplace_back(y, w);
    }
    dijkstra();
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << d[i] <<
    ' ';
    return 0;
    }

结果