详细介绍：方程变形：来自韦达定理的降维处理

问题描述

已知 $(x-z{)}^2-4(x-y)(y-z)=0$，求证：$2y=x+z$。

该等式形似二次方程的判别式，但变量间的复杂关系让人联想到“开学前赶作业的我们”——答案近在咫尺，却总差临门一脚。

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破题思路：两条截然不同的路径

思路一：暴力拆解法（代数变形爱好者）

1. 展开$(x-z{)}^2$：$x^2-2xz+z^2$
2. 展开$-4(x-y)(y-z)$：$-4xy+4y^2+4xz-4yz$
3. 合并同类项：
   $$x^2+2xz+z^2-4xy-4yz+4y^2=0$$
   ⚠️注意：$-2xz+4xz=+2xz$的符号变化是易错点！

思路二：方程构造法（几何直觉派）

1. 构造方程（当$x\ne y$时）：
   $$(x-y)t^2-(x-z)t+(y-z)=0$$
2. 判别式$\Delta =0$，方程有重根。
3. 检验：$t=1$是根（代入成立）。
4. 韦达定理：$1\times 1=\frac{y-z}{x-y}\Rightarrow x+z=2y$。
   妙招：遇到$A^2-4BC=0$形式，立即联想判别式！

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关键推导：数学公式的变形艺术

证明一：代数变形（完整版）

$$\boxed{\begin{array}{rl}& (x-z{)}^2-4(x-y)(y-z)\\ & =x^2-2xz+z^2-4(xy-xz-y^2+yz)\\ & =x^2+2xz+z^2-4xy-4yz+4y^2\\ & =(x+z{)}^2-4y(x+z)+4y^2\\ & =[(x+z)-2y{]}^2=0\\ & \Rightarrow x+z=2y\text{得证}\end{array}}$$

证明二：方程构造法（完整版）

当$x=y$时显然成立。当$x\ne y$时：
$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{构造方程：}(x-y)t^2-(x-z)t+(y-z)=0\\ & \because \Delta =(x-z{)}^2-4(x-y)(y-z)=0\\ & \therefore t_1=t_2=1(\text{系数和为零})\\ & \text{由韦达定理：}1\times 1=\frac{y-z}{x-y}\\ & \Rightarrow x-y=y-z\\ & \Rightarrow x+z=2y\text{得证}\end{array}}$$

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解题策略总结：举一反三的万能钥匙

1. 识别结构特征：$A^2-4BC$形式→判别式。
2. 代数变形技巧：优先配方法，特别是交叉项。
3. 分类讨论意识：系数可能为零时（如$x-y=0$）需单独讨论。
4. 逆向思维：从结论$2y=x+z$反推，$y$是$x,z$的等差中项。

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课后彩蛋

若条件改为$(x-z{)}^2=k(x-y)(y-z)$，是否存在实数$k$，使得$x,y,z$能成等比数列？