题解 UVA10032 【Tug of War】

https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10032

很特别的 dp，并且有背包思想。

1. 简洁题意：

把 $n$ 个数分为两堆，一堆中有 $\lfloor n/2 \rfloor$ 个数，另一堆中有其他的数，要求两堆数尽量接近。

### 2. 题目分析（位运算 + 状压）

2. 背景分析：因为 $n \le 100$，且即如果 $n$ 是偶数，这两个部分均要有 $n/2$ 块，如果 $n$ 是奇数，则必须分为 $\lfloor n/2 \rfloor$ 和 $\lfloor n/2 \rfloor + 1$ 两个部分，则 $m \le 50$，因为 $m$ 很小，可以考虑状压。

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3. 解法内容：我们设计状态 $f[i]$ 代表它能被几个数拼出来，该数组中存一个二进制数，它的第 $j$ 位代表 $i$ 这个数是否能够用 $j$ 个数拼出来，能则为 $1$，不能则为 $0$。转移方程即为：

$$f[i] = f[i] \mathbin{\mathrm{bitor}} f[i-a[j]] \ll 1$$

我们只要找到一个能被 $n/2$ 个数拼出来的并且最接近所有数的和的一半的数，求出动态规划的 $f$ 数组后，扫一遍统计答案即可。

4. 参考代码

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int T,n,a[105],s,ans1,ans2,te;
long long f[100005],t;
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        s=0;//多组数据
        memset(f,0,sizeof(f));//多组数据清空
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            s+=a[i];//先求所有数的和
        }
        f[0]=1;
        t=1ll<<n/2+1;
        t--;
        te=0x3f3f3f3f;
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=s;j>=a[i];j--){
                f[j]|=((f[j-a[i]]<<1)&t);//把数值固定在t的范围内（根据题意要求）
            }
        }
        for(int i=0;i<=s;i++){
            if(f[i]&(1ll<<(n/2)))
            if(abs(i-(s-i))<te){//这里是选取相差最小的方案
                te=abs((i<<1)-s);
                ans1=i;
                ans2=s-i;
            }
            if(ans1>ans2){
                swap(ans1,ans2);//保证小的在前面
            }
        }
        printf("%d %d\n",ans1,ans2);//输出答案，记得换行
        if(T) putchar('\n');//题目格式要求
    }
    return 0;
}