32.最长有效括号（Longest Valid Parentheses）

题目描述：

给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长的包含有效括号的子串的长度。

示例 1:

输入: "(()"
输出: 2
解释: 最长有效括号子串为 "()"
示例 2:

输入: ")()())"
输出: 4
解释: 最长有效括号子串为 "()()"

解题思路：

　　这个题我一开始也想到用动态规划去解决，不过状态转移方程没有找对，试了几种都是错的。最后无奈看了题解，发现题解的思路真的很巧妙。所以偶尔看一看别人的思路，学习别人优秀的想法，真的可以收获很多。

　　dp的思路是：1）dp[i]表示，下标i为结尾的序列中，最长有效括号子串的长度。2）如果s[i]是‘（’，那么显然无法构成一个有效的序列，所以dp[i]为0，如果s[i]是‘）’，那么就需要联系前一个字符，来进行状态转换。3）如果s[i-1]是‘（’，那么s[i-1]和s[i]构成一对，所以这时只需要用dp[i-2]加上2即可。如果s[i-1]是‘）’，那么就需要判断以s[i-1]为结尾的有效子串的前一个字符是不是‘（’，如果是的话，dp[i]的值就等于dp[i-1]加上2再加上dp[i - dp[i-1] - 2]。

　　最后一种情况相对难以理解，再解释一下就是：把s[i-1]为结尾的有效子串看成一个整体，这个整体的前一个字符如果是‘（’，就刚好可以和s[i]的‘）’组成一对，所以长度就变成s[i-1]结尾的子串长度加二。但是这样是不够的，如果现在这个加2以后子串前面正好还有有效子串，那么这两个子串就可以组成一个更长的有效子串，这就是最后加上dp[i - dp[i-1] - 2]的原因。

　　代码如下：

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        // 保存下标i为结尾的序列中，最长有效括号子串的长度
        vector<int> dp(s.size());
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i < s.size(); ++i) {
            if (s[i] == '(') {
                dp[i] = 0;
            } else if (s[i - 1] == '(') {
                if (i == 1)
                    dp[i] = 2;
                else
                    dp[i] = dp[i - 2] + 2;
            } else { // case : (s[i - 1] == ')')
                if (i - dp[i-1] - 1 >= 0 && s[i - dp[i-1] - 1] == '(')
                    if (i - dp[i-1] - 2 < 0)
                        dp[i] = dp[i-1] + 2;
                    else
                        dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[i - dp[i-1] - 2];
            }
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};