「SAM」你的名字

　　第二次做了

　　回过头来看自己第一次写的代码简直一派胡言

　　重新看的题解+骚扰Lrefrain解释代码，耗时一整天

　　然后终于明白了

　　纪念之

　　

　　给定$S[]$，多次给定$T[],L,R$,询问$T$有多少本质不同的子串是在$S[L...R]$出现过的

　　$|S|<=5e5 |T|<=1e6$

　　

　　首先考虑$L==1,R==n$的情况怎么做，

　　一个直观的想法是拿$T$在$S$的$SAM$上跑

　　然后沿路打上标记。然而$SAM$上的一个节点代表长度连续的多个串，可能并不能全部跑到

　　所以要维护一个变量$plen$表示已匹配的长度，每个节点标记上有$min(plen,x->len)-x->f->len$串被跑到了

　　然后再遍历所有跑过的节点累加就行了？

　　既然已经注意到每个节点代表的多个子串中，跑到其中一个必定能跑到它的所有后缀

　　不应该忽略$fail$树上此节点父链上所有的子串都是其后缀，都可以跑到

　　所以每次都暴力跳父链打上$min(plen,x->len)-x->f->len$的标记，喜提$O(n^2)$

 

　　发现跳父链的时候打上的标记全都是$x->len-x->f->len$，即全都包含

　　则如果发现当前的x已经是这个标记了就不用再跳了，喜提$O(n\sqrt{n})$

　　

　　为什么这么不优秀，因为被打标记的节点数的上限是和$|S|$有关的，这不好

　　不如只用$SAM(S)$维护$plen$，同时在$SAM(T)$上跑并打标记，喜提$O(n)$

　　（其实全世界只有我一开始在$S$上打标记，所有人都想到了同时在$T$上跑。）

　　

　　然后若$L,R$任意，需要得到$SAM(S[L...R])$，但是不好做

　　由于$SAM(S)$可以从$root$跑出$S$的所有子串，所以可以仍然依托$SAM(S)$的整体结构

　　而用$endpos$集合来检查是否符合$[L,R]$的限制

　　考虑怎么用$endpos$集合来达到等效目的，观察用$SAM(S)$做了什么

　　1.寻找目前节点$x$有无字符$c$的出边，有就转移过去

　　　　设目前完成匹配的子串为$C[1...plen]$，此时的$endpos$为$p$，

　　　　其实更应该表述为匹配完成前$plen$时有没有出边，因为通过减小$plen$可能使得原本没有出边现在有出边

　　　　若$C[1...plen]+c$仍在$S[L,R]$中，必满足

　　　　$p-plen+1\in[L,R]$，$p\in[L,R]$

　　　　即$L+plen-1<=p<=R$

　　　　检查$x->son[c]$有无在区间$[L+plen,R]$中的$endpos$即可

　　　　（由于此时$x=x->son[c],++plen$这行代码还未执行，$plen$还是未加字符$c$前的$plen_0$，不等式中的$plen=plen_0+1$）

　　2.跳$x$的$parent$

　　　　不论是$SAM(S[L...R])$还是整个串的$parent$树

　　　　$x$的父链都包含了所有的$x->len$个后缀

　　　　而整个串的$SAM$的可能更长一些，但是总的跳父亲次数怎么也不会超过$|T|$

　　　　所以完全可以直接使用，不会遗漏任何出现过的最长后缀就完事了

　　3.查询$x$的$len$

　　　　首先思考真的需要查询$x$在$SAM(S[L,R])$的len吗？

　　　　答案是否，只想要$T$在$S[L,R]$能维持最长多长的匹配，只是当$L=1,R=n$时，恰好等于$x->len$而已

　　　　所以接下来求出来的并不是真正的$len$，而是最长匹配长度。

　　　　

　　　　首先在$[L,R]$中得有$endpos$

　　　　考虑其中最大的$endpos$，设此节点所代表的 以这个位置为结尾的子串中 最长的一个为$skyh$

　　　　如果$skyh$的左端点$>L$，则在$[L,R]$中的最长长度就等于整个串的$SAM$中这个节点的$len$了

　　　　（可以理解为这个$endpos$完整地呈现了$x->len$）

　　　　如果左端点$<=L$，则最长长度为$maxendpos-L$，

　　　　（所以所谓“真正的len”和最长匹配长度也只有在$skyh$越过左端点时有一点区别，就当我前边在说垃圾话吧）

 

　　所以做法就是先建出整个串的$SAM$，然后可持久化线段树合并得到$endpos$集合

　　检查当前节点（当前长度），如果有出边，转移过去

　　否则$--plen$，如果$plen<=x->f->len$，$x=x->f$

　　继续检查有无出边

 

　　另一种做法，不枚举最长匹配长度，而是先枚举此长度位于哪个节点。

　　检查方法是，将$x->son[c]->f->len+1$代入$plen$，检查$x->son[c]$里有无合法的$endpos$

　　如果没有，那最长匹配的串不在这个节点上，跳$parent$（同时将$plen$对$x->f->len$取min）

　　否则在这个节点上，$plen=min(x->len,maxendpos-L)$

　　

    while(!eg(l,R,x,ch)&&x!=root) x=x->f;
    j=min(j,getlen(l,R,x));
    x=x->c[ch]; ++j;
    j=min(j,getlen(l,R,x));

 

    while(!eg(l,R,x,ch)&&x!=root) x=x->f,j=min(j,getlen(l,R,x));
    x=x->c[ch]; ++j;
    j=min(j,getlen(l,R,x));

 

　　关于第二种写法

　　为什么$x=x->son[c]$后需要重新将$j$对$getlen()$取$min$呢，难道$getlen()$不会同步增加至少1吗

　　$getlen=min(x->len,maxendpos-L)$，$x->len$的确至少增加1了，但是$endpos$极有可能缩小，

　　而$eg()$是带入了$x->f->len$不可能关注到这一点，只知道$x$节点里有一个$endpos.$但是不可知道是不是原有的最大的$endpos.$