bzoj1004 card

明知是burnside然而根本不会然后无耻地颓了题解后一脸傻气的我：

直接套公式？？？为啥方案数==等价类数量啊？？？

skyh：显然啊（狂笑）（hey wxy！他问为啥方案书等于等价类数量！）

wxy：显然啊

我：？？？

 

先不说为什么着色方案等于等价类的数量。先读题

经过观察，题目给出的表面上是牌与牌间的映射操作

初步理解：一种着色方案下，牌组不断洗牌会出现多种颜色状态

　　　　　以上颜色状态之间相互变化只需要1次操作

　　　　   不同方案下，以上颜色状态不会重复

如果把牌看作元素，那么一个映射操作就是改变了牌的顺序，调换了一些牌的颜色

所以一张牌就是元素，置换给了，求牌的互相到达的组数就好了

我们看到这种 映射操作 满足单位元、逆元、封闭性、结合律，那么这些操作很可能构成了置换群

如果它们是置换群的话，我们可以想到它们对牌进行了操作，但是却在不同的颜色状态之间建立了相互转化的关系

回到初步理解：一种染色方案合法，必须满足它生成的颜色状态（们）在任何映射操作下封闭互化（能且仅能互相到达）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（像不像等价类）

所以如果把题意再抽象一层...

define：元素：颜色状态，理由是映射操作使颜色状态具有了互化关系

　　　  置换：映射操作造成的互化关系

　　　  置换群：所有互化关系

　　　  等价类：可以相互转化的颜色状态，一组等价类对应一种染色方案

　　　  置换的不动点数量：在一个置换下，一个颜色状态中循环变化的一些牌可以是不动的，循环就是不动点。但是循环（们）真正对答案的贡献不是他们的量，而是他们内部选择同一种颜色，总体满足题目颜色要求的方案数（不是染色方案，而是在一个置换下，不会随此置换改变的  符合题目要求的 颜色状态数）

　　　（<-- dp）

 

搞懂了才能心安理得的套公式。