最努力的活着题解

显然是让活的尽量久的人获得更大的价值更优。
而假设当前轮还剩$cnt$个人，那么实际会有$\lfloor \frac{cnt}{w}\rfloor$个人被淘汰。这些人的具体的位置我们不关心。

然而，本题若直接进行模拟，在加强后的数据下会超时。

接下来考虑优化：
我们不是每次都只能模拟一轮游戏，而是能一次模拟$k$轮游戏，其中的每一轮淘汰掉$b$个人，即：
$$\begin{array}{rl}& bw⩽cnt<(b+1)w\\ & (b-1)w⩽cnt-kb<bw\end{array}$$
我们可以由此推出:
$$k=\lfloor \frac{cnt-bw+b}{b}\rfloor$$
令已经被淘汰掉的人数为$t$，剩余的数和为$S$，则有：
$$S=\sum _{i=t+1}^{n}i=\frac{((t+1)+n)(n-t)}{2}$$
可以从$kS$中减去前面的块的总和，来得到$ans$的增量

第一块的和记作$A$：
$$A=\frac{(t+1+t+b)b}{2}$$
注意到之后的每一块的和都是$A+B{b}^2$形式，
由此可以推出所有要减去的块之和为：
$$\begin{array}{rl}s& =A\sum _{i=1}^{k}i+b^2\sum _{i=1}^{k-1}\frac{i(i+1)}{2}\\ & =\frac{A(1+k)k}{2}+\frac{b^2}{2}\sum _{i=1}^{k-1}{i}^2+i\\ & =\frac{A(1+k)k}{2}+\frac{b^2}{2}[\frac{(k-1)k(2(k-1)+1)}{6}+\frac{(k-1)k}{2}]\end{array}$$
于是
$${\Delta }_{ans}=kS-s$$
这样做越到后面跳得越快，时间复杂度约为$O(\sqrt{n})$，应该可以通过本题

所需的求和公式如下：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{k}i=\frac{k(k+1)}{2}\\ & \sum _{i=1}^k{i}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\end{array}$$
由于数据较大会爆$longlong$ 因此需要开__int128才行

参考代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;


void print(__int128 x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9)
        print(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

void solve() {
    long long x,y;
    cin >> x >> y;
	__int128 n=x, w=y;
    __int128 cnt = n;
    __int128 t = 0;
	__int128 k=0,b=0,A=0,S=0,s=0;
    __int128 ans = n * (n + 1) / 2;
    while (cnt >= w) {       
		b=cnt/w;
		k=(cnt-b*w+b)/b;
		cnt-=k*b;		
		S=(((t + 1) + n) * (n - t) / 2)*(k);
		A=(t+1+t+b)*b/2;
		s=A*(1+k)*k/2+(((k-1)*(k)*(2*(k-1)+1)/6+(k-1)*(k)/2)/2)*b*b;
        ans += S-s;		
		t+=b*k;	
    }
    print(ans);
    cout << endl;
}

signed main() {
    // ios::sync_with_stdio(false);
    // cin.tie(nullptr);
    // cout.tie(nullptr);
    int T = 1;
    // init();
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}