导数(1)

导数学习笔记（1）

From bilibili 一数 导数 1~6

求导公式：

\[f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

手动求导举例：

对 \(f(x)=x^2\)求导：

\[\begin{aligned} f’(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\Delta x+2x \\ &=2x \end{aligned} \]

在实际做题过程中吗，我们不能对所有函数都手动求导，因此，我们必须掌握常见函数的导数以及导数的运算法则。

常见函数导数：

\[\begin{cases} (x^a)’&=ax^{a-1}(a\not =0) \\ (C)’&=0 \\ (e^x)’&=e^x \\ (\ln x)’&=\frac{1}{x} \\ (\sin x)’&=cosx \\ (\cos x)’&=-sinx \\ (\tan x)’&=\frac{1}{cos^2x} \\ (\cot x)’&=-\frac{1}{sin^2x} \\ (a^x)’&=a^xlna \\ (\log_ax)’&=\frac{1}{x\ln a} \end{cases} \]

导数运算法则：

四则运算：

\[\begin{cases} [f(x)\pm g(x)]’&=f'(x)\pm g'(x) \\ [f(x)\cdot g(x)]’&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ {\Big [}\frac{f(x)}{g(x)}{\Big ]}’&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{cases} \]

复合函数：

链式法则：

\[\begin{aligned} (f_n(f_{n-1}(f_{n-2}(f...(f_1(x))))))’=f_n'(f_{n-1}(f_{n-2}(...)))\cdot f_{n-1}’(f_{n-2}(...)))\cdot ...\cdot f_1’(x) \end{aligned} \]

导数应用

判断函数单调性

设函数 \(f(x)\) ，若存在：

\[\begin{cases} f'(x)&>0(a<x<b) \\ f'(x)&<0(c<x<d) \end{cases} \]

那么显然，\(f(x)\) 在区间 \((a,b)\)上单调递增，在区间\((c,d)\)上单调递减。

极值与最值

设函数\(f(x)\) ，若存在：

\[\begin{cases} f'(x)&>0(a<x<b) \\ f'(x)&<0(b<x<c) \end{cases} \]

则称 \(b\) 为函数\(f(x)\)的一个极大值点。注意这里的点并非一个二维的点，而是类似于零点一样的，只是一个一维的值。

类似的，若存在：

\[\begin{cases} f'(x)&<0(a<x<b) \\ f'(x)&>0(b<x<c) \end{cases} \]

则称 \(b\) 为函数\(f(x)\)的一个极小值点。

一个函数的最值只可能在两个位置：（1）极值点（2）端点。