【BZOJ1004】【HNOI2008】Cards 群论 置换 burnside引理 背包DP

题目描述

　　有\(n\)张卡牌，要求你给这些卡牌染上RGB三种颜色，\(r\)张红色，\(g\)张绿色，\(b\)张蓝色。

　　还有\(m\)种洗牌方法，每种洗牌方法是一种置换。保证任意多次洗牌都可用这\(m\)种洗牌法中的一种代
替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

　　问你本质不同的染色方法有多少种。

　　\(r,g,b\leq 20,m\leq 60\)

题解

　　对照置换群的定义，可以发现这\(m\)种置换加上恒等置换一共\(m+1\)中置换构成了一个置换群。

　　由burnside引理得到本质不同的方案数就是只考虑每个置换时的染色方案数的平均数。

　　对于每个置换，先处理出循环，一个循环里的卡牌要染上相同的颜色。因为每种颜色的卡牌有数量限制，所以要背包DP一下。

　　最后乘上\({(m+1)}^{-1}\)。

　　时间复杂度：\(O(n^3m)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int p;
int fp(int a,int b)
{
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
int f[100][100][100];
int a[100];
int r,g,b;
int n;
int c[100];
void add(int &a,int b)
{
	a=(a+b)%p;
}
void dp(int v)
{
	int i,j,k;
	for(i=r;i>=0;i--)
		for(j=g;j>=0;j--)
			for(k=b;k>=0;k--)
			{
				if(i>=v)
					add(f[i][j][k],f[i-v][j][k]);
				if(j>=v)
					add(f[i][j][k],f[i][j-v][k]);
				if(k>=v)
					add(f[i][j][k],f[i][j][k-v]);
			}
}
int solve()
{
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0][0][0]=1;
	int i;
	memset(c,0,sizeof c);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		int s=0;
		int j=i;
		while(!c[j])
		{
			c[j]=1;
			s++;
			j=a[j];
		}
		dp(s);
	}
	return f[r][g][b];
}
int main()
{
	int m;
	scanf("%d%d%d%d%d",&r,&g,&b,&m,&p);
	int i,j;
	n=r+g+b;
	int ans=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[j]);
		add(ans,solve());
	}
	m++;
	for(i=1;i<=n;i++)
		a[i]=i;
	add(ans,solve());
	ans=ans*fp(m,p-2)%p;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}