4.质数判定和质数筛法（埃拉托色尼筛选法，线性筛法/欧拉筛法）

质数检验

引题：
质数指约数仅为1及其本身的自然数。比如8个最小的质数为2，3，5，7，11，13，17，19。注意，1不是质数。
请编写一个程序，输入n个整数，输出其中质数的个数。

输入：第一行输入n。接下来1行给出n个整数。
输出：输出质数的个数，占1行。
限制：$1<=b<=10000，2<=给出的整数<=10^8$
输入示例：
6
2 3 4 5 6 7
输出实例：
4

1. 初学者的简单算法

检验整数x是否为质数：检查整数x能否被2到x-1的整数整除。

bool isPrime( int x )
{
	if( x<=1 ) return false;
	for(int i=2;i<x;++i)
		if( x%i==0 )
			return false;
	return true;
}

可以得知，上述算法对于单一数据其复杂度为O(x)，算法整体的复杂度与$x_i(i=1,2,…,n)$的总和成正比，显然无法在限制时间内输出答案。我们需要考虑一个更高效的方法。

2. 初学者优化算法

1. 除2以外所有的偶数都不是质数，这样就能将复杂度减少一半。
2. 在检查x时，由于x不可能被大于$\frac{x}{2}$的整数整除，这就又减少了一半复杂度。

但这些小技巧并不能撼动该算法复杂度为O(x)的本质。

3. 性质：若n为合数，则必有质数p|n，且$p<=\sqrt{n}$

在检验质数的时候，我们可以利用“合数x拥有满足$p<=\sqrt{x}$的质因数p”这一性质。
举个例子，检验31是否为质数时，只需要看31能否被2到6的整数整除即可。如果7到30中存在能整除31的整数，那么2到6中必然也存在能整除31的整数，所以检查大于6的整数只是浪费资源。
利用这一性质，我们可以将检验范围从2到x-1缩小至2到$\sqrt{x}$，算法的复杂度也就改良到了O($\sqrt{x}$)。比如x=1000000时，$\sqrt{x}$=1000，此时该算法快了1000倍。

bool isprime(int x)
{
	if(x==2) return true;
	if( (x<2) || !(x&1) ) return false;//x<2或x为偶数
	int i = 3;
	while( i<=sqrt(x) )
	{
		if( x%i==0 ) return false;
		i += 2;
	}
	return true;
}

4. 埃拉托色尼筛选法

有些时候，除了检验给定整数x是否为质数的函数之外，如果能事先准备出质数数列或质数表，就可以帮助我们更有效地求解质数的相关问题。
埃拉托色尼筛选法（The Sieve of Eratosthenes）可以快速列举出给定范围内的所有质数，这个算法如下步骤生成质数表。
埃拉托色尼筛选法：

1. 列举大于等于2的整数。
2. 留下最小的整数2，删除所有2的倍数。
3. 在剩下的整数中留下最小的3，删除所有3的倍数。
4. 在剩下的整数中留下最小的5，删除所有5的倍数。
5. 以下同理，留下仍未被删除的最小整数，删除该整数的倍数，一直循环到结束。

以最小的4个质数为例，其求解过程如图。
原始表：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

第一轮：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

第二轮：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

第三轮：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

第四轮：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

埃拉托色尼筛选法核心代码：

#define MAX 1000000
bool isprime[MAX];
//bool型数组isprime表示质数表，
//isprime[x]为true表示x是质数，为false表示x是合数。
void eratos(int n)
{
	int i,j;
	for(i=0;i<=n;++i)//列举整数作为候选的质数
		isprime[i] = true;
	isprime[0] = isprime[1] = false;//0和1不是质数，所以删除它们
	for(i=2;i<=sqrt(n);++i)//留下i，删除i的倍数
		if( isprime[i] )
		{
			j = i+i;
			while( j<=n )
			{
				isprime[j] = false;
				j = j+i;
			}
		}
}

埃拉托色尼筛选法需要占用一部分内存空间（与待检验整数的最大值N成正比），但其复杂度只有O(N log log N)。

其实可以再优化一下代码：

#define MAX 1000000
bool isprime[MAX];
//bool型数组isprime表示质数表，
//isprime[x]为true表示x是质数，为false表示x是合数。
void eratos(int n)
{
	int i,j;
	for(i=0;i<=n;++i)//列举整数作为候选的质数
		isprime[i] = true;
	isprime[0] = isprime[1] = false;//0和1不是质数，所以删除它们
	for(i=2;i<=sqrt(n);++i)//留下i，删除i的倍数
		if( isprime[i] )
		{
			j = i*i;	//这边其实从i*i开始就可以了
			while( j<=n )
			{
				isprime[j] = false;
				j = j+i;
			}
		}
}

但其实你自己手动模拟一遍就会发现，埃拉托色尼筛选法不足之处也很明显，很多数被处理了不止1遍，比如6，在素数为2的时候处理1次，为3时候又标记一次，因此又造成了比较大的不必要处理。因此，下面引出线性筛法（欧拉筛法）求质数。

5. 线性筛法（欧拉筛法）

思路：
筛的过程中要保证两点：
1、合数一定被删掉了
2、每个数都没有被重复地删掉

那代码如何实现呢？（我们结合下面的代码分析）
首先，明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。
其次，不管 i 是否是素数，都会执行到第18行——for(int j=0;j<tot;++j)处。
这时，我们会遇到两种情况：

1. 如果 i 是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以一个不大于 i 的素数ans[j]，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 $N=p_1*p_2$ 的形式, $p_1$、$p_2$之间不相等。
2. 如果 i 是合数的话，此时 i 可以表示成递增素数相乘 $i=p_1*p_2*...*p_n$ , $p_i$都是素数（2<=i<=n）， $p_i&lt;=p_j ( i&lt;=j )$，其中$p_1$是最小的素数。而且满足条件的 i 有且只有一个，所以不会重复删除。

再次，根据第23行——if( i%ans[j] == 0 )处的定义，当最小的素数p1等于ans[j]的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于最小素数p1的质数的i倍的数。即保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，从而不重复筛选。

线性筛法核心代码：

#define MAX 1000000
int ans[MAX];//记录哪些数字是素数，即ans[MAX]是一个素数集合
bool valid[MAX];
//数组valid[i]记录i是否为素数。初始所有的valid[i]为true。
//线性筛选完之后valid[i]=ture的就是素数。
void LinearPrime(int n)
{
	int tot = 0;
	memset(valid,true,sizeof(valid));//初始所有的valid[i]为true
	for(int i=2;i<=n;++i)//对于2到n中的每一个i
	{
		if( valid[i] )//如果i是素数
		{
			ans[tot] = i;//那么就将i这个素数加入素数集合ans[MAX]中
			tot++;
		}
		for(int j=0;j<tot;++j)//对于当前素数集合中每一个元素ans[j]
		{
			if( i*ans[j]>n ) break;//若i*ans[j]>n，结束循环
			//（因为确定素数的倍数超过讨论范围，没必要进行下一步了）
			valid[i*ans[j]] = false;//将确定素数的倍数记录为合数
			if( i%ans[j]==0 ) break;//保证每个合数只会被它的最小质因数筛去
		}
	}
}