二项式反演

定义 \(f(k)\) 为恰好有 \(k\) 个元素满足某种条件的方案数，\(g(k)\) 为指定 \(k\) 个元素必须满足条件的方案数。

根据定义，\(g(k)=\Sigma_{i_1,i_2,...,i_k}\ |\bigcap^k_{j=1}S_{i_j}|=\Sigma^n_{j=k}\ C^k_j\times f(j)\)
则 \(f(k)=\Sigma^n_{j=k}\ (-1)^{j-k}\times C^k_j\times g(j)\)

证明：
\(\begin{aligned} f(k) &= \sum^n_{j=k}\ (-1)^{j-k}\times C^k_j\times g(j) \\ &=\sum^n_{t=k}\ \sum^t_{j=k}\ (-1)^{j-k}\times f(t)\times C^k_t\times C^{j-k}_{t-k} \\ &=\sum^n_{t=k}\ f(t)\times C^k_t \times (\sum^t_{j=k}\ (-1)^{j-k}\times C^{j-k}_{t-k})\to\text{其中括号部分根据二项式定理，相当于} (1-1)^{t-k}。\\ &=\sum^n_{t=k}\ f(t)\times C^k_t\times [t=k] \\ &=f(k) \end{aligned}\)
证毕。