2025寒训：寒末上午（数学）Day 4

卡特兰数（此处的 \(C\) 均为卡特兰数）

\(C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}=\frac{4n-2}{n+1}c_{n-1}=\frac{1}{n+1}\sum^n_{i=0}(C^i_n)^2\)

等价定义 1

\(n\times n\) 的网格，从左下到右上，每次向右或向上，向右的次数不少于向上的次数的方案数（出栈序列个数；括号匹配序列个量）
\(C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}\)

等价定义 2

\(n\) 个节点本质不同的二叉树个数（圆上 \(2n\) 个点，两两匹配连接，互不相交的方案数；凸 \(n+2\) 边形三角形划分方案数）
\(C_n=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i-1}\)

生成函数

\(G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ix^i\)
\(G^2(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_{i+1}x^i\)
\(G(x)=xG^2(x)+1\)
\(G(x)=\frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{i+1}C_i^{2i}x^i\)

概率与期望

\(E(x)=\sum_iP_ix_i\)
\(E(ax+by)=aE(x)+bE(y)\)

概率为 \(P\) 的事件期望在 \(\frac{1}{P}\) 次后发生

Prüfer 序列

树转序列：每一次找到编号最小的度数为 \(1\) 的节点，将其删除并将与之相连的节点放入序列，直到树中只剩两个点
序列转树：每次取出第一个元素与在点集中且不在序列中最小的点连接并删除，直到点集中只剩两个点，连接即可

结论：\(n\) 个点的完全图的生成树有 \(n^{n-2}\) 个

容斥原理

\(|A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_m|=\sum_{1\le i\le m}|A_i|-\sum_{1\le i<j\le m}|A_i\cap A_j|+\dots+(-1)^{m-1}|A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_m|\)