2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基

线性空间 \(W\)

• \(\ x\in W \to kx\in W\qquad F_2:\ k=0,1\)
• \(0\in W\)
• \(x\in W,\ y\in W\to x+y\in W\)

线性有/无关组

\(S\) 中存在子集和为 0 的有关，否则无关

基

极大的线性无关组

\(span(S)\)

求最小的 \(W\)，使 \(S\in W\)

求解

• 高斯消元
• 倍增拆位法（推荐）
  具体见代码

模版代码 P3812【模板】线性基

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t[55];//桶
void ins(int x)//加入一个数
{
    for(int i = 50; i >= 0; i --)
    {
        if(x & (1ll << i))
        {
            if(!t[i])
            {
                t[i] = x;
                break;
            }
            else
            {
                x ^= t[i];
            }
        }
    }
}
void erase()//化简基
{
    for(int i = 0; i <= 50; i ++)
    {
        for(int j = i + 1; j <= 50; j ++)
        {
            if(t[j] >> i & 1ll)
            {
                t[j] ^= t[i];//消除相同的位
            }
        }
    }
}
signed main()
{
    int n;
    long long x;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> x;
        ins(x);
    }
    erase();
    long long ans = 0;
    for(int i = 0; i <= 50; i ++)
    {
        ans ^= t[i];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

P4869 的结论

简化基从小到大排序后为 \(c_0,c_1\dots c_{m-1}\)
令 \(x=2^{a_1}+2^{a_2}+\dots+2^{a_t}\)，\(f(x)=c_{a_1}\oplus c_{a_2}\oplus\dots\oplus c_{a_t}\)
结论：\(0\le x<y\le 2^m,\ f(x)<f(y)\)
另一个结论：\(n\) 个数组成大小为 \(s\) 的线性基，则能构成 \(2^s\) 种不同的数，每个数出现 \(2^{n−s}\) 次