【POJ】2352 Stars

题目链接: http://poj.org/problem?id=2352

作为树状数组入门第一题，感触颇深啊！

先来闲扯几句，集训第二天晚上，merlininice师父突然兴致上来说是要教我一个很简单，却十分有用的东西——树状数组，还说在五分钟之内搞定。

“ 首先看这幅经典的图片（后来越看越不经典…），……（后来说了一大堆我完全不理解的东西，哭啊）”

 

（后来在网上找到了一幅更好理解的图，这里也挂出来：

）

接着，merlininice师父发了一串代码过来，还说这是树状数组的模板：

int lowbit(int x)//计算lowbit
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int val)
{
    while(i<=n)
    {
        a[i]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int sum(int i)//求前i项和
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=a[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}

最后，merlininice师父居然连五分钟都没讲满就结束了，还扔给我这个题目的链接，要求第二天早上一定要秒掉……

于是乎，这就成了我学习树状数组入门的第一题……

 

学习树状数组之后的感觉就是，虽然仍旧不清楚为什么树状数组a[i]是这么求得的，但是如果仅仅把它当做工具来使用，确实蛮好用的。

add(num,del): 是将num更新为c[num]+del，并且num之后的数也在add()函数中更新了；

sum(num) :将返回前num的c[i]的和。

*******lowbit(x)是整个树状数组的灵魂所在。（所以说创造算法的实在不是用人的思维在思考的啊）***********

我曾经无聊地将前1000个x的 x&(-x) 打表打出来：

1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 64 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 128 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 64 1 2 1 4 1 2 1

8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 

16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 256 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
64 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 128 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 64 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 512 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 64 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
128 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 64 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1
16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1
8 1 2 1 4 1 2 1 256 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1

我们来看红色的数字，相信你应该很快能发现它们都是是2的指数。

再来看前100的蓝色的数字，暂时找不出规律？ 那么我们先来找这些数字的下标 和 它们自身对应起来观察：

6 10  12  14  18  20  22  24  26  28  30  ……

2  2   4    2    2    4    2   8    2    4     2  ……

相信你应该已经发现了 ：

6 = 2*3 -> 2；

10 = 2*5 -> 2;

12 = 2*2*3 ->4;

……

24 = 2*2*2*3 -> 8;

……

也就是说lowbit(x)的返回值是x所有因子中包含的2的指数的因子数；如果你学习过（或者了解过）谢尔排序，也许会觉得这两种完全不同的方法中却蕴含了共通的思想，即 “间距连续性规划求解问题” （介个说法纯属自创，hiahia~~）

emm…瞎扯了这么多，我还是觉得吧，树状数组就是用来求解前n项数组num[i]的和。（a[i]就是树状数组啦，或许可以称之为“辅助数组”？）

 

但是，树状数组的问题最难的，相信各位深有体会，就是如何将实际的问题转化为树状数组求和的方法。

所以第二天早上我花了将近一上午的时间才解决这道题目……

现在想想，诶，自己实在太菜了……

 

现在将当时的思路整理如下：

这个问题用来做树状数组入门实在太合适了！ 因为经过一个早上的思考（太讽刺了…555），题意是按照y的非降序输入的，x又是在当y相同时按照x非降序输入的，而索要求的是问在该颗星星左下角区域（包括正左方和正下方）的星星的颗数……

现在冷静思考下，按照题意的输入方式，那么如果每输入一颗星星A（xi,yi）之后，我在X>=xi的地方都执行a[X]++，那么之后输入进来的星星B（xj,yj）,sum（xj）其实就是在星星B左下方的星星颗数……

因为y已经保证是按非降顺序输入的，那么所有先输入的星星必然都在后输入的星星的下方（保证了在其下方）；

那么只需通过sum（）就能找到之前输入的星星的xi坐标小于等于该颗星星的颗数 （前提是保证之前的星星的xi值都已经插入了哦~）

于是输入结束后所有的答案也都出来啦！

现在想来，还真是简单 …… 囧

 

* PS：一直没有说明很重要一点就是lowbit（x）中 x!=0;  因为 0&0=0；所以在调用add（num,del）的时候必须保证num!=0。（这点很重要哦~）

         所以在本题星星的xi上要做一些处理（很多情况下是使每一颗星星的xi++）

下面是代码的主体部分

 while(cin>>m){
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(level,0,sizeof(level));
          for(i=0; i<m; ++i){
                cin>>x>>y;
                add(x+1,1);
                star = sum(x+1)-1;
                level[star]++;
          }
          for(i=0; i<m; ++i)
                cout<<level[i]<<endl;

 

最后吐槽一句：坑爹啊，一个宝贵的上午…… 菜爆了……