B. For the Champion

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Problem - 2135B - Codeforces

​ 注意到可查询的范围 \(k\) 为（\(0 \le k \le 10^9\)），并且式子 \(\min\limits_{1\le i \le n}(|x_i - c| + |y_i - d|)\) 的绝对值不好处理，我们考虑将机器人移动到边界再处理答案。

​ 设机器人位置为 \((X,Y)\)，设定 \(V=10^9\)，有 \(-V \le X, Y \le V\)。我们先移动到左下角，执行 \((L,V),(L,V),(D,V),(D,V)\)，最后到达 \((X_1,Y_1)\)，有 \(X_1,Y_1 \le -10^9\)，记录答案 \(q_1\)，有 \(q_1 = \min\limits_{1\le i \le n}(|x_i - X_1| + |y_i - Y_1|) = \min\limits_{1\le i \le n}(x_i - X_1 + y_i - Y_1)\)，得到 \(\min\limits_{1\le i \le n}(x_i + y_i) - (X_1 + Y_1)\)，因为 \(X_1 = X - 2V,Y_1 = Y - 2V\)，可以得到：

\[X + Y = \min\limits_{1\le i \le n}(x_i + y_i) + 4V - q_1 \]

​ 同理，我们继续走到左上角，执行 \((U,V),(U,V),(U,V),(U,V)\)，最后到达 \((X_2,Y_2)\)，有 \(X_2 \le -10^9\)，\(Y_2 \ge 10^9\)，记录答案 \(q_2\)，有 \(q_2 = \min\limits_{1\le i \le n}(|x_i - X_2| + |y_i - Y_2|) = \min\limits_{1\le i \le n}(x_i - X_2 - y_i + Y_2)\)，得到 \(\min\limits_{1\le i \le n}(x_i - y_i) - (X_2 - Y_2)\)，因为 \(X_2 = X - 2V,Y_2 = Y + 2V\)，可以得到：

\[X - Y = \min\limits_{1\le i \le n}(x_i - y_i) + 4V - q_2 \]

最终可以得到 \(X,Y\) 的值。

\[X = \dfrac{1}{2}(\min\limits_{1\le i \le n}(x_i + y_i) + \min\limits_{1\le i \le n}(x_i - y_i) + 8V - (q_1 + q_2)) \]

\[Y = \dfrac{1}{2}(\min\limits_{1\le i \le n}(x_i + y_i) - \min\limits_{1\le i \le n}(x_i - y_i)- q_1 + q_2) \]

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ull = unsigned long long;
using ll = long long;

ll query(char c, ll k){
    cout << "? " << c << " " << k << endl;
    ll ans;
    cin >> ans;
    return ans;
}
void solve(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<ll> x(n), y(n);
    ll V = 1e9;
    ll m1 = LLONG_MAX, m2 = LLONG_MAX;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        cin >> x[i] >> y[i];
        m1 = min(m1, x[i] + y[i]);
        m2 = min(m2, x[i] - y[i]);
    }
    query('L', V);
    query('L', V);
    query('D', V);
    ll q1 = query('D', V);
    query('U', V);
    query('U', V);
    query('U', V);
    ll q2 = query('U', V);
    cout << "! " << (m1 + m2 + 8 * V - (q1 + q2)) / 2LL << " " << (m1 - m2 - q1 + q2) / 2LL << endl;
}

int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    int T = 1;
    cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}