新学期征程

新学期征程

\(\hspace{20px}\)给定一个正整数 \(n\)（\(3 \le n \le 10^5\)）。请问，在 \(x,y\) 坐标均为 \(1\) 以上 \(n\) 以下范围内的（即 \(1 \le x, y \le n\)）中，不重复地选取 \(5\) 个点，满足以下条件的方法共有多少种？

• 在所选的 \(5\) 个格点中，任意选取两个不同点，使得这两个点的中点仍为格点的情况，恰好只有 \(1\) 种。

\(\hspace{20px}\)注：格点指的是 \(x,y\) 坐标均为整数的点。

\(\hspace{20px}\)现在，请你解决该问题。由于答案可能很大，请输出结果对 \(998244353\) 取模后的值。

\(\hspace{20px}\)题目链接

我们先考虑剩下四个格点保证两两的中点均不为格点的情况：

\(\hspace{20px}\)性质：如果两个点的中点为格点，那么这两个点的横坐标奇偶性相同，纵坐标奇偶性也相同。

\(\hspace{20px}\)那我们可以推导出这四个点横纵坐标奇偶性都有一个不同，即奇奇(a)、奇偶(b)、偶奇(c)、偶偶(d)，位置如下：

2	c	d
1	a	b
0	1	2

\(\hspace{20px}\)其他点的位置就是这些点横纵平移两个单位所能到达的位置。

接着把第五个点考虑进去，可以发现只要前面四个点的位置确定了，那么第五个点放在哪里都会满足题意，因为他的横纵坐标奇偶性只会与某一个点的一致。

\(\hspace{20px}\)那么题目就抽象成了从四个盒子里先各取出一个小球，然后从四个盒子里再取出一个小球的小球方案数。

\(\hspace{20px}\)我们可以这么考虑：从一个盒子里取两个，剩下的盒子里各取一个的方案数，组合数计算即可。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 998244353;
const int inv2 = (MOD + 1) / 2;

void solve(){
    long long n;
    cin >> n;
    long long a = ((n + 1) / 2) * ((n + 1) / 2) % MOD;
    long long b = (n / 2) * ((n + 1) / 2) % MOD;
    long long c = ((n + 1) / 2) * (n / 2) % MOD;
    long long d = (n / 2) * (n / 2) % MOD;
    long long ans = 0;
    auto calc = [](long long x, long long y, long long z, long long w) -> long long {
        //  calc x twice
        if(x < 2)   return 0;
        long long ans = x * (x - 1LL) % MOD * inv2 % MOD * y % MOD * z % MOD * w % MOD;
        return ans;
    };
    ans = (ans + calc(a, b, c, d)) % MOD;
    ans = (ans + calc(b, c, d, a)) % MOD;
    ans = (ans + calc(c, d, a, b)) % MOD;
    ans = (ans + calc(d, a, b, c)) % MOD;
    cout << ans << "\n";
}

int main(){
    int T = 1;
    cin >> T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}