求数组的子数组之和的最大值--编程之美2.14（待完善）

例题:Max Sequence

《编程之美》中的解法三：

nStart表示从a[i]到数组末尾中包含a[i]的和最大的一段数组元素之和。

nAll表示从a[i]到数组末尾中和最大的一段数组元素之和。

代码1：

 

int max(int a, int b)
{
    return a>b ? a : b;
}
int MaxSum(int *a, int n)
{
    int nStart=a[n-1];
    int nAll=a[n-1];
    for (int i=n-2; i>=0; i--)
    {
        nStart=max(a[i], nStart+a[i]);
        nAll=max(nStart, nAll);
    }
    return nAll;
}

代码2（代码1的另一种写法）：

int MaxSum(int* a, int n)
{
    int nStart=a[n-1];
    int nAll=a[n-1];
    for (int i=n-2; i>=0; i--)
    {
        if (nStart<0) nStart=0;
        nStart+=a[i];
        //把(nStart+a[i], a[i])中大的赋值给nStart;
        if (nStart>nAll) nAll=nStart;    //把(nStart,nAll)中较大的赋值给nAll;
    }
    return nAll;
}

 

扩展问题：

1：如果数组(A[0],A[1],A[2],......,A[n-1])首尾相邻，也就是我们允许找到一段数字(A[i],A[i+1],......A[n-1],A[0],A[1],....,A[j])，使其和最大，怎么办？

    解：问题分为两种情况,然后取二者中的最大值。

        其1：解没有跨过....A[n-1],A[0].....(原问题)，得到Max1。

        其2：解跨过....A[n-1],A[0].....并且必定含有A[n-1],和A[0]。否则还是原问题。得到Max2。

                 对于这种情况，可以这样进行解答，一方面求以A[n-1]结尾的最大的一段和。另一方面求以A[0]开始的最大的一段和。（额，这是错的，书上这样解，因为这样的话，只要S(A[0]+.....+A[n-1])>0那么就会都加到头了。以A[n-1]结尾的最大的一段和与求以A[0]开始的最大的一段和其中很可能有重复的元素，即二者是相关的，有牵制的。不是无关的。）

                 即Max2=A[i]+A[i+1]+....+A[n-1]+A[0]+.....+A[j-1]+A[j].

        这里关键是第二种情况怎么进行计算，书本上是错的。举例2,-2,3,5,-3,2 答案应该为10.即2+2+-2+3+5=10。

2：子序列之和的最大值，并且返回子序列的位置

下面的代码，如果存在多个最大的子序列，则只返回最前面的。

int begin = 0;    //表示子数组之和最大数组的起始下标
int end = 0;    //表示子数组之和最大数组的末尾下标
int MaxSum(int* a, int n){
    int nStart = a[0];
    int nAll = a[0];
    int tmpStart = 0;    //表示子数组之和最大数组临时的起始下标
    for( int i = 1; i < n; i++)
    {
        if (nStart < 0)
        {
            nStart = 0 ;           
            tmpStart = i;
        }
        nStart += a[i];
        if (nStart > nAll)
        {
            end = i;
            nAll = nStart;
            begin = tmpStart;
        }
    }
    return nAll;
}