HDU 1257 最少拦截系统（LIS）

思路：

1.该题题意是求不严格递减的子序列（即序列中相邻元素可以相等）个数最少有多少个；
2.有一个结论：该序列中最长递增子序列(LIS)的长度即为不严格递减子序列最少的个数；
严格证明（有一部分不会证orz）：
(1)首先证明LIS中任意两个元素都来自不同的递减序列：
如果存在a和b，在原序列中，a的位置在b之前，如果它们在LIS中，则满足a<b，如果在同一递减序列中则满足a>=b，矛盾，所以得证；
(2)再证明n个递减序列中，每个序列抽出一个数，则它们可以成为一条LIS；（这个不太会证orz）
换一个思路也许可以理解这个结论：
我们从开始往后遍历原序列，同时维护一个最长递增子序列LIS，初始就是第一个数，每往后遍历一个数，在LIS里寻找一个最小的大于等于该数的数，将这个数加到其后面，同时更新该数为当前遍历到的数，如果找不到，则将其加入LIS，那最终LIS长度就是（没有找到的次数+1），自然就是递减序列最少的个数了~；
例如：100 90 80 90 100 70 60 81 82 83
遍历完前三个数后，LIS里只有一个80，遍历到第四个数90时，在LIS里寻找一个最小的大于等于90的数，可以让90加到后面，发现没有，则就将90加入LIS，100也是这个道理，此时LIS里是[80,90,100]，遍历完整个序列后，LIS里就是[60,81,82,83]，这个序列出现了3次不能加到前者后面的情况（即需要重新开一个递减序列）==（需要加入值到LIS里），那递减序列最少的个数就等于LIS序列的长度了~
3.下面的任务就是求LIS的长度了~
定义序列数组为a[i]
有两种思路
(1)定义dp[i]为以a[i]为结尾的LIS长度，得递推关系
$dp[i]=max\{1,a[j]+1|j<i且a[j]<a[i]\}$
该方法复杂度为$O(n^2)$
(2)定义dp[i]为长度为i的LIS中末尾元素的最小值，想法就是同一长度的子序列，末尾元素更小的序列更具有优势。首先更新所有dp[i]=INF,递推关系就是，从前往后遍历原序列，对于每一个j，如果i==0或a[j]>dp[i-1]，则
$dp[i]=min(dp[i],a[j])$
最终找到的最大的i使得dp[i]!=INF的(i+1)即为LIS长度；
该方法复杂度仅有$O(n\log n)$

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N=1e4;
const int INF=1e9;
int n;
int a[MAX_N];
int dp[MAX_N];    //长度为i+1的递增子序列末尾元素的最小值
void solve(){
	fill(dp,dp+n,INF);
	for(int i=0;i<n;i++){
		*lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];
	}
	printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);
} 
void clear(){
	for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=dp[i]=0;
}
int main(){
	while(~scanf("%d",&n)){
		for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",a+i);
		solve();
		clear();
	}
	return 0;
}