随机数的组合问题(JavaScript描述)

随机数的组合问题在面试时是经常考的，比如之前我就被问到：“有一个可以生成１－５的随机数函数，怎样把它扩大到１－７？”

在解决这个问题之前，先来看看另外一个比较简单的问题：“有一个可以生成１－７的函数，怎样把它缩小到１－５？”下面是一个生成１－７函数random７：

function random7() {
　　return Math.floor(Math.random() * 7 + 1);
}

如何把它转成生成１－５的函数呢？这很简单：在一个循环里面调用random7，直到它的值小于等于５就结束循环并返回该随机数即可，如下：

function random5() {
　　var r = random7();
　　while(r > 5) {
　　　　r = random7();
　　}
　　return r;
}

上面的思路就是：如果生成的随机数大于５，就继续调用random7,直到它小于等于５为止。好吧，回归正题，再来看一下１－５如何转成１－７吧。下面是一个随机生成１－５的函数：

function random5() {
　　return Math.floor(Math.random() * 5 + 1);
}

 

我们现在的目的是要把它扩大到１－７。有一种很自然的想法可能就是：一个random5()产生的随机数范围是１－５，那么两个random5()相加的范围就是２－１０了，再减去１就是１－９了，所以，可以按照上面的思路，在random7里来个循环，如果小于等于７就结束循环并且返回。如下：

function random7() {
　　var r = random5() + random5() - 1;
　　while(r > 7) {
　　　　r = random5() + random5() - 1;
　　}
　　return r;
}

这样确实可以把1－5的范围扩大到１－７，但是问题来了：所谓随机函数，产生的每个值的概率是相等的，但是上面的方法产生的值概率相等吗？我们可以使用概率论的组合知识算岀来：生成１有一种组合，就是random5() + random5() - 1;中的两个random5()均是１，生成２有两种组合，第一个random5()是１第二个是２，或者相反。显然，它们的概率是不等的。所以这种方法是不行的。

为了实现生成的每个值的概率是相等的，就是使得每个值的组合数相等。一种可行的方法是使得每个值的组合只有一种，如下：

function random7() {
　　var r = (random5() - 1) * 5 + random5(); 
　　while(r > 7) {
　　　　r = (random5() - 1) * 5 + random5(); 
　　}
　　return r;
}

为什么这样就会使得各个值的概率相等呢？首先来看一下(random5() - 1) * 5，容易算岀这个表达式生成的可选值是０，５，10，15，20，用它去跟random5()相加，因为random5()的可选值是１，　２，３，４，５，所以两者相加之后就会得到１－25之间的随机数，而且产生的每个值的组合均只有一种，所以它们的概率也是相等的。

也许有人会问，(random5() - 1) * 5，这里为什么是乘以５而不是其他呢？这是因为乘以５之后和random5()相加，得到的数是连续的并且是等概率的。

上面讨论的都是特殊情形１－５和１－７之间的转换，对于其他的一般情形，大家可以自己试试哈。