题解：P14127 [SCCPC 2021] K-skip Permutation

题解：P14127 [SCCPC 2021] K-skip Permutation

题意

构造一个长度为 \(n\) 的排列 \(P\)，使得 \(f(P,k)\) 最大。

对于 \(f(P,k)\) 的定义：对于一个 \(n\) 的排列 \(P=p_1,p_2,\cdots,p_n\)，\(f(P,k)\) 表示满足 \(1 \le i <n\) 且 \(p_i+k=p_{i+1}\) 的 \(i\) 的个数。

算法 tag

构造。

数据规模与约定

\(1 \le n,k \le 10^6\)。

题解

核心思路

观察题目可以发现，最优的策略是将 \(1\) 到 \(n\) 的数按模 \(k\) 的余数分组。具体来说，对于每个余数 \(r\)，组 \(r\) 包含的数为 \(r,r+k,r+2k,\cdots\)，直到超过 \(n\) 为止。

例如，当 \(k=3,n=7\) 时，分组结果为：

• \(1,4,7\) 满足条件
• \(2,5\) 满足条件
• \(3,6\) 满足条件

注意：每个组内的元素必须从小到大，这样才能满足相邻两个元素的差为 \(k\) 的条件，而且最大化答案。

正确性验证

• 每个组内的元素差为 \(k\)，一个大小为 \(s\) 的组能贡献 \(s-1\) 个满足条件的答案。
• 总满足条件的答案为所有组的 \((s_i-1)\) 之和，即 \(\sum (s_i-1)=n-m\)（\(m\) 为非空组数量），这是理论最大值。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*====================*/
using ll=long long;
/*====================*/
#define endl '\n'
/*====================*/
void Solve()
{
    int n,k;cin>>n>>k;
    for(int r=1;r<=k;r++) 
	{
        for(int x=r;x<=n;x+=k) 
		{
            cout<<x<<" ";
        }
    }
    cout<<endl; 
}
/*====================*/
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	int T=1;//cin>>T;
	while(T--)Solve();
	return 0;
}

注：本文已被 luogu 审核通过至 P14127 题解区