题解：P14073 [GESP202509 五级] 数字选取

题解：P14073 [GESP202509 五级] 数字选取

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题意

给定 \(1,2,3,4,\cdots,n\) 一共 \(n\) 个整数，从这些数中选取一些数字，使得选取的整数中任意两个不同的整数均互质。

数据规模与约定

对于所有测试点，保证 \(1 \le n \le 10^5\)。

算法 tag

质数、筛法。

题解

• 核心发现 \(1\)：在这些数中，\(1\) 是必须选的，因为 \(1\) 与任何数的最大公因数都是 \(1\)。
• 核心发现 \(2\)：任意两个不相等的质数一定互质，因为质数的因数只有 \(1\) 和它本身。
• 核心发现 \(3\)：用合数替换其质因数，无法增加答案数量，因为合数一定包含至少一个质因数，若选合数则必须放弃其质因数（因它们不互质），但 \(1\) 个合数最多只能替代 \(1\) 个质因数，无法增加总数量。例如：选 \(4\)（质因数 \(2\)）只能替代质数 \(2\)，数量不变；选 \(6\)（质因数 \(2\)、\(3\)）会替代 \(2\) 个质数，数量反而减少 —— 因此选质数比选合数更优。

综上，可以发现最优策略是 \(1\) 到 \(n\) 中的质数个数 \(+1\)（因为还有个 \(1\) 也是合法的）。

可以使用埃筛筛出 \(1\) 到 \(n\) 之间的质数，统计这些质数个数，再把答案 \(+1\)。

Code

void Solve(void)
{
	int n;cin>>n;
	vector<bool> is_prime(n+1,true);
	is_prime[0]=is_prime[1]=false; 
	for(int i=2;i*i<=n;i++) 
	{
		if(is_prime[i])
		{
			for(int j=2;i*j<=n;j++)
			{
				is_prime[i*j]=false;	
			}	
		} 
	}
	int ans=0;
	for(auto b:is_prime)
	{
		if(b)ans++;
	}
	cout<<ans+1<<endl;
}