题解：B4410 [GESP202509 一级] 金字塔

题解：B4410 [GESP202509 一级] 金字塔

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题意

给定正整数 \(n\)，求从 \(1\) 到 \(n\) 的立方和（\(\sum \limits _{i=1} ^{n} i^2\)）

数据规模与约定

\(1 \le n \le 50\)

算法 tag

模拟（循环结构），数学

题解

做法1：直接枚举求和

很简单，写个 for 循环枚举 \(1\) 到 \(n\)，把每个数的平方加入 \(ans\) 中即可。

Code

void Solve(void)
{
	int n;cin>>n;
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=i*i;
	cout<<ans;
}

做法2：数学公式法

对于 \(1\) 到 \(n\) 的平方和，有一个公式可以直接套用：

\[\sum \limits _{i=1} ^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

公式推导（三角形法）：

我们可以构造一个各个位置上数字之和为 \(\sum \limits _{i=1} ^{n} i^2\) 的三角形，如下：

然后旋转两次后得到三个三角形（如下）：

把每个位置上的数字加起来，得到：

可以发现，三角形上的每一个位置上三个数的和是 \(2n+1\)，一共有 \(1+2+3+4+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\) 个数字，总和就是 \((2n+1)\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}\)，但是这是三个三角形的数字之和，我们只需要一个，所以需要把结果 \(\div 3\)，得到的结果就是 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \div 3 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。

所以，我们就证明出了 \(\sum \limits _{i=1} ^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。

有了这个公式，代码就很简单啦。

Code

void Solve(void)
{
	int n;cin>>n;
	long long ans=(n*(n+1)*(2*n+1))/6;
	cout<<ans;
}