题解：B4357 [GESP202506 二级] 幂和数

题解：B4357 [GESP202506 二级] 幂和数

题意

给定正整数 \(l\) 和 \(r\)，求 \([l,r]\) 中有多少个数可被表示成 \(2^x + 2^y(x,y\) 为非负整数\()\)。

数据范围与约定

对于所有测试点，保证 \(1 \le l \le r \le 10^4\)。

题解

\(1.\) 暴力求解

暴力枚举 \([l,r]\) 之间的数，再枚举 \(x\) 和 \(y\)，如果这个数可以被表示为幂和数，就将答案 \(+1\)。

Code

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n=r-l+1\)，因为 \(x\) 和 \(y\) 的枚举都是常数（\(14 \times 14 = 196\)）。

void Solve(void)
{
	int l,r;cin>>l>>r;
	int ans=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		bool flag=false;
		for(int x=0;x<=14;x++)
		{
			for(int y=0;y<=14;y++)
			{
				if(pow(2,x)+pow(2,y)==i)flag=true;
			}
		}
		if(flag)ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
}

\(2.\) 位运算角度

分类讨论：

• 当 \(x \neq y\) 时，\(2^x+2^y\)，因为 \(2^x\) 的二进制位在第 \(x\) 位有 \(1\)，其余全为 \(0\)。所以 \(2^x+2^y\) 的二进制有两位是 \(1\)，其余为 \(0\)。

• 当 \(x=y\) 时，\(2^x+2^y=2^{x+1}\)，所以在 \(x+1\) 位有一个 \(1\)，其余全部为 \(0\)。

\(\therefore\)，当这个数是幂和数是时，它的二进制位只能有 \(\le 2\) 的 \(1\)，特别的，当这个数为 \(1\) 时，虽然满足条件，但不是幂和数，因为最小的幂和数时 \(2^0+2^0=2\)，所以不能从 \(1\)，开始判断，只需要取 \(max\{2,l\}\) 即可。

Code

void Solve(void)
{
	int l,r;cin>>l>>r;
	int ans=0;
	for(int i=max(l,2);i<=r;i++)
	{
		if(__builtin_popcount(i)<=2)ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
}