AVL树（自平衡树）——c++实现
AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：
1.本身首先是一棵二叉搜索树。
2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。
既然是树，那么就要有节点：
template <class T> struct AVLTreeNode{ T data; int height; AVLTreeNode* Left; AVLTreeNode* Right; AVLTreeNode(T v,AVLTreeNode* l,AVLTreeNode* r):data(v),height(0),Left(l),Right(r){} }; /* 数据解释： data用来储存节点值 height储存的是几点的高度 Left是左儿子 Right是右儿子 最后一项是构造函数 */
接下来我们给出AVL树的定义
template <class T> class AVLTree{ private: //根节点 AVLTreeNode<T>* Root; public: AVLTree():Root(NULL){}//构造函数 void add(T data);//添加节点的外部接口 int height();//查询高度的外部接口 int max(int a, int b);//比较两个数据的大小 private: AVLTreeNode<T>* add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data);//添加节点的内部接口 int height(AVLTreeNode<T>* tree);//查询高度的内部接口 AVLTreeNode<T>* LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2);//左左旋转的具体实现 AVLTreeNode<T>* RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1);//右右旋转的具体实现 AVLTreeNode<T>* LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3);//左右旋转的具体实现 AVLTreeNode<T>* RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1);//右左旋转的具体实现 };
1.查询高度
/* 高度 作用：获取树的高度 */ template <class T> int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) { if (tree != NULL) return tree->height; return 0; } template <class T> int AVLTree<T>::height() { return height(Root); }
2.比较大小
/* 模板类改造比较两个值的大小*/ template <class T> int AVLTree<T>::max(int a, int b) { return a>b ? a : b; }
3.旋转
如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：
上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：
上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：
(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。
3.1LL旋转
/* LL 在左左旋转中，一共涉及到三代节点，我们把爷爷节点命名为K2，K2的左儿子命名为K1。 问题出现的原因是K1的左儿子增加了一个节点导致平衡树失衡 解决思路： 让K1成为爷爷节点，K2成为K1的右儿子，并且将K1的右儿子接为K2的左儿子，然后返回爷爷节点K1取代原来K2的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2){ AVLTreeNode<T>* k1; k1 = k2->Left; k2->Left = k1->Right; k1->Right = k2; k2->height = max( height(k2->Left), height(k2->Right)) + 1; k1->height = max( height(k1->Left), k2->height) + 1; return k1; }
3.2RR旋转
/* RR 在右右旋转中，一共涉及到三代节点，我们把爷爷节点命名为K1，K1的右儿子命名为K2。 问题出现的原因是K2的右儿子增加了一个节点导致平衡树失衡 解决思路： 让K2成为爷爷节点，K1成为K2的左儿子，并且将K2的左儿子接为K1的右儿子，然后返回爷爷节点K2取代原来K1的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ AVLTreeNode<T>* k2; k2 = k1->Right; k1->Right = k2->Left; k2->Left = k1; k1->height = max( height(k1->Left), height(k1->Right)) + 1; k2->height = max( height(k2->Right), k1->height) + 1; return k2; }
3.3LR旋转
/* LR 在左右旋转中，一共涉及到四代节点，我们把做根本的节点成为K3（曾爷爷节点），K3的左儿子称为K1（爷爷节点），K1的右儿子称为K2 问题出现的原因时K2的右儿子增加了一个节点之后导致树的失衡 解决思路： 因为涉及到四代节点，所以需要两次旋转， 首先对K1，K2进行一次右右旋转 =》 K2成为爷爷节点（即K3的左儿子），k2原本的左儿子称为K1的右儿子，K1成为K2的左儿子 接下来对K2，K3进行一次左左旋转 =》K2称为曾爷爷节点，K2原本的右儿子成为K3的左儿子，K3成为K2的右儿子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3){ k3->Left = RR_Rotation(k3->Left); return LL_Rotation(k3); }
3.4RL旋转
/* RL 在右左旋转中，一共涉及到四代节点，我们把做根本的节点成为K1（曾爷爷节点），K1的右儿子称为K3（爷爷节点），K3的左儿子称为K2 问题出现的原因时K2的左儿子增加了一个节点之后导致树的失衡 解决思路： 因为涉及到四代节点，所以需要两次旋转， 首先对K2，K3进行一次左左旋转 =》 K2成为爷爷节点（即K1的右儿子），k2原本的右儿子称为K3的左儿子，K3成为K2的右儿子 接下来对K1，K2进行一次右右旋转 =》K2称为曾爷爷节点，K2原本的左儿子成为K1的右儿子，K1成为K2的左儿子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ k1->Right = LL_Rotation(k1->Right); return RR_Rotation(k1); }
4.插入节点
template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data){ if (tree == NULL) { tree = new AVLTreeNode<T>(data, NULL, NULL); } else if (data < tree->data){ //将新加入的节点插入左子树 tree->Left = add(tree->Left, data); //检查加入新的结点之后树是否失去平衡 if (height(tree->Left) - height(tree->Right) == 2) { if (data < tree->Left->data) tree = LL_Rotation(tree);//左左，新加入之后左儿子的左儿子深了 else tree = LR_Rotation(tree);//左右，新加入之后左儿子的右儿子深了 } } //将新加入的节点插入右子树 else if (data > tree->data) { tree->Right = add(tree->Right, data); //检查加入新的结点之后树是否失去平衡 if (height(tree->Right) - height(tree->Left) == 2) { if (data > tree->Right->data) tree = RR_Rotation(tree);//右右，新加入之后右儿子的右儿子深了 else tree = RL_Rotation(tree);//右左，新加入之后右儿子的左儿子深了 } } else //该节点已经在树中 { cout << "该节点已经存在树中" << endl; } //更新更前当前节点的高度 tree->height = max( height(tree->Left), height(tree->Right)) + 1; return tree; } template <class T> void AVLTree<T>::add(T data){ add(Root, data); }
总的代码：
#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; template <class T> struct AVLTreeNode{ T data; int height; AVLTreeNode* Left; AVLTreeNode* Right; AVLTreeNode(T v,AVLTreeNode* l,AVLTreeNode* r):data(v),height(0),Left(l),Right(r){} }; /* AVL树的定义 为了保护类内数据，仿照网络实例把函数写成了内接口和外接口的形式。还有模板类。 感觉代码有点繁杂，写完之后调式的时候感觉不太顺手，以后写程序要注意内接口和外接口的模式 */ template <class T> class AVLTree{ private: AVLTreeNode<T>* Root; public: AVLTree():Root(NULL){} void add(T data); int height(); int max(int a, int b); private: AVLTreeNode<T>* add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data); int height(AVLTreeNode<T>* tree); AVLTreeNode<T>* LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2); AVLTreeNode<T>* RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1); AVLTreeNode<T>* LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3); AVLTreeNode<T>* RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1); }; /* 高度 作用：获取树的高度 */ template <class T> int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) { if (tree != NULL) return tree->height; return 0; } template <class T> int AVLTree<T>::height() { return height(Root); } /* 模板类改造比较两个值的大小*/ template <class T> int AVLTree<T>::max(int a, int b) { return a>b ? a : b; } /* LL 在左左旋转中，一共涉及到三代节点，我们把爷爷节点命名为K2，K2的左儿子命名为K1。 问题出现的原因是K1的左儿子增加了一个节点导致平衡树失衡 解决思路： 让K1成为爷爷节点，K2成为K1的右儿子，并且将K1的右儿子接为K2的左儿子，然后返回爷爷节点K1取代原来K2的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k2){ AVLTreeNode<T>* k1; k1 = k2->Left; k2->Left = k1->Right; k1->Right = k2; k2->height = max( height(k2->Left), height(k2->Right)) + 1; k1->height = max( height(k1->Left), k2->height) + 1; return k1; } /* RR 在右右旋转中，一共涉及到三代节点，我们把爷爷节点命名为K1，K1的右儿子命名为K2。 问题出现的原因是K2的右儿子增加了一个节点导致平衡树失衡 解决思路： 让K2成为爷爷节点，K1成为K2的左儿子，并且将K2的左儿子接为K1的右儿子，然后返回爷爷节点K2取代原来K1的位置 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ AVLTreeNode<T>* k2; k2 = k1->Right; k1->Right = k2->Left; k2->Left = k1; k1->height = max( height(k1->Left), height(k1->Right)) + 1; k2->height = max( height(k2->Right), k1->height) + 1; return k2; } /* LR 在左右旋转中，一共涉及到四代节点，我们把做根本的节点成为K3（曾爷爷节点），K3的左儿子称为K1（爷爷节点），K1的右儿子称为K2 问题出现的原因时K2的右儿子增加了一个节点之后导致树的失衡 解决思路： 因为涉及到四代节点，所以需要两次旋转， 首先对K1，K2进行一次右右旋转 =》 K2成为爷爷节点（即K3的左儿子），k2原本的左儿子称为K1的右儿子，K1成为K2的左儿子 接下来对K2，K3进行一次左左旋转 =》K2称为曾爷爷节点，K2原本的右儿子成为K3的左儿子，K3成为K2的右儿子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::LR_Rotation(AVLTreeNode<T>* k3){ k3->Left = RR_Rotation(k3->Left); return LL_Rotation(k3); } /* RL 在右左旋转中，一共涉及到四代节点，我们把做根本的节点成为K1（曾爷爷节点），K1的右儿子称为K3（爷爷节点），K3的左儿子称为K2 问题出现的原因时K2的左儿子增加了一个节点之后导致树的失衡 解决思路： 因为涉及到四代节点，所以需要两次旋转， 首先对K2，K3进行一次左左旋转 =》 K2成为爷爷节点（即K1的右儿子），k2原本的右儿子称为K3的左儿子，K3成为K2的右儿子 接下来对K1，K2进行一次右右旋转 =》K2称为曾爷爷节点，K2原本的左儿子成为K1的右儿子，K1成为K2的左儿子 */ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::RL_Rotation(AVLTreeNode<T>* k1){ k1->Right = LL_Rotation(k1->Right); return RR_Rotation(k1); } template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::add(AVLTreeNode<T>* &tree, T data){ if (tree == NULL) { tree = new AVLTreeNode<T>(data, NULL, NULL); } else if (data < tree->data){ //将新加入的节点插入左子树 tree->Left = add(tree->Left, data); //检查加入新的结点之后树是否失去平衡 if (height(tree->Left) - height(tree->Right) == 2) { if (data < tree->Left->data) tree = LL_Rotation(tree);//左左，新加入之后左儿子的左儿子深了 else tree = LR_Rotation(tree);//左右，新加入之后左儿子的右儿子深了 } } //将新加入的节点插入右子树 else if (data > tree->data) { tree->Right = add(tree->Right, data); //检查加入新的结点之后树是否失去平衡 if (height(tree->Right) - height(tree->Left) == 2) { if (data > tree->Right->data) tree = RR_Rotation(tree);//右右，新加入之后右儿子的右儿子深了 else tree = RL_Rotation(tree);//右左，新加入之后右儿子的左儿子深了 } } else //该节点已经在树中 { cout << "该节点已经存在树中" << endl; } //更新更前当前节点的高度 tree->height = max( height(tree->Left), height(tree->Right)) + 1; return tree; } template <class T> void AVLTree<T>::add(T data){ add(Root, data); } int main(){ int num; AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>(); cin>>num; for(int i=0;i<num;i++){ int x; cin>>x; tree->add(x); } cout<<"高度为："<<tree->height()<<endl; return 0; } /* 实例输入： 16 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 实例输出： 5 */
源自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577360.html
