若邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立
1. 命题回顾
若邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立。
这里“邻接矩阵是三角矩阵”应理解为 有向图 的邻接矩阵（方阵，节点编号为$ (1, 2, \dots, n)）$，并且该矩阵是上三角矩阵或下三角矩阵（通常讨论上三角，因为节点编号与拓扑顺序有关）。
2. 前半句：邻接矩阵是三角矩阵 ⇒ 存在拓扑序列
2.1 邻接矩阵是上三角矩阵的情况
假设邻接矩阵 $ (A) $ 是 上三角矩阵（对角线及以上可能有 1，对角线以下全 0）。
- 上三角意味着：如果存在边 $ (i \to j) $ ，则必有 $ (i < j) $（因为 $ (A_{ij} = 1) $ 且 $ (i < j) $ 时位于上三角部分；若 $ (i > j) $ 则 $ (A_{ij} = 0) $ 表示没有这样的边）。
- 因此，所有边的方向都是从编号小的节点指向编号大的节点。
于是节点编号 $ (1, 2, \dots, n) $ 本身就是一个拓扑序列：对于任意边 $ (i \to j) $，有 $ (i < j) $，所以序列中 $ (i) $ 在 $ (j) $ 之前，满足拓扑排序的定义。
结论：上三角矩阵 ⇒ 有拓扑序列（且就是 $ (1,2,\dots,n) $）。
2.2 邻接矩阵是下三角矩阵的情况
如果矩阵是 下三角矩阵（对角线及以下可能有 1，对角线以上全 0）：
- 边 $ (i \to j)$ 存在 ⇒ $ (A_{ij} = 1) ⇒ (i \ge j) $（严格下三角时 $ (i > j) $，但若允许对角线，则可能有自环，但拓扑排序一般要求无自环，所以通常假设无自环，即 $ (i > j)$）。
- 那么所有边的方向是从编号大的节点指向编号小的节点。
这样图中可能有环吗？
举例：3 个节点，边 $ (3\to 2)$ 和 $ (2\to 1)$ 都是允许的（$ (i>j)$），但不会出现 $ (1\to 3)$（因为 $ (1<3)$ 但上三角部分全 0），所以不会形成环（因为要形成环必须有一条边从小编号指向大编号，但这样的边不存在）。
实际上，下三角矩阵对应的图是无环的，因为若假设有环 $ (v_1 \to v_2 \to \dots \to v_k \to v_1)$，在边的编号关系上，必须有 $ (v_1 > v_2 > \dots > v_k > v_1)$，这不可能（传递得到 $ (v_1 > v_1)$ 矛盾）。所以也是 DAG。
因此，下三角矩阵也对应一个 DAG，拓扑序列存在（不过是逆序编号 $ (n, n-1, \dots, 1) 等）。
小结前半句：无论上三角还是下三角矩阵（无自环），对应的有向图是无环的（DAG），所以一定存在拓扑序列。
命题前半句为真。
3. 后半句：反之则不一定成立
“反之”意思是：存在拓扑序列 ⇒ 邻接矩阵是三角矩阵？
- 存在拓扑序列只说明图是 DAG。
- 我们可以对 DAG 的节点进行拓扑排序，然后按这个顺序给节点重新编号，那么在新编号下，所有边都是从编号小的指向编号大的 ⇒ 邻接矩阵是上三角矩阵。
但注意原命题中“邻接矩阵是三角矩阵”是对原编号而言的，没有说可以重编号。
所以：一个 DAG 在原来的节点编号下，邻接矩阵不一定是三角矩阵。
例如：节点编号 1, 2, 3，边有 $ (1\to 3)$ 和 $ (2\to 1)$（拓扑序列可以是 2,1,3），但原邻接矩阵：
[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
]
不是上三角（因为 $ (A_{21}=1)$ 在下三角部分），也不是下三角（因为 $ (A_{13}=1)$ 在上三角部分）。
所以“存在拓扑序列”不一定意味着原编号下的邻接矩阵是三角矩阵。
结论：反之不成立。
4. 最终判断
命题：
若邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立。
这是 正确 的。
浙公网安备 33010602011771号