使用Java刷动态规划问题的经验总结

1、基调

动态规划很难，不像排序算法或者查找算法，只需要记住固定的代码，就可以使用在任何需要该算法的地方，动态规划只有套路，或者说框架，可能你做了几百道动态规划的题，思路一时间没转过弯来，leetcode中medium级别的题都做不出来。

2、术语解释

动态规划有最优子结构、重叠子问题、状态转移方程、dp数组、base case、状态等术语。

看起来高深莫测，其实都是一些容易理解的东西，这里我就解释一下我感觉需要了解的术语：

状态

什么是状态，状态就是变量，与所求的结果密切相关的变量。

比如背包问题，要求背包能装物品的最大价值，就与当前背包的容量，和当前物品的重量密切相关；
比如爬楼梯问题，要求有多少种爬楼梯的方式，与选择爬多少阶楼梯密切相关。
比如凑零钱问题，要求最少的硬币数凑零钱，与选择的硬币的价值，和当前硬币的个数密切相关。

状态转移方程

通俗点，就是在已知dp[0],dp[1]…dp[i-1]的情况下，如何推导出dp[i]。没啥好说的，就这么简单。

dp table

也就是所谓的备忘录，并且数组相比较于List，Map之类的，具有天然的绝对优势，所以每次动态规划的题目都会首先定义一个dp数组，比如dp[0],dp[1]…dp[i-1]，避免重复计算。

base case

也就是初始条件，都知道从dp[0],dp[1]…dp[i-1]推导出dp[i]，那dp[0]咋办，难道还有dp[-1]来推导吗，所以就只能依靠手动初始化dp[0]这些数据，从而保证后面能够正常推导。

至于最优子结构和重叠子问题，主要用于从递归推导出动态规划，了解一下就行，在我的学习历程中，对于写出动态规划的题目，用处不大（个人想法）

3、套路/框架

在刚接触动态规划的题目的时候，许多博主都说了一个解决动态规划问题的流程：
递归的暴力解法 => 带备忘录的递归解法 => 非递归的动态规划解法

这对于新手理解来说，确实如此，但是对于熟悉写动态规划，感觉没啥用处，反而让我走了一些弯路。刚开始我按照这个流程，想办法用暴力解法来写，结果越写越懵，就算写出了暴力解法，又要去想方设法去想，如何增加备忘录，然后才是改造为动态规划解法，太繁琐了，我感觉比起直接用动态规划的写法来写，更难。

所以我按照我的学习经验，来谈一谈如何搞定动态规划。

好了，接下来就是具体的流程了：
1、确认状态（我感觉这一步也好难，和推导状态转移方程难度五五开），也就是不管啥题目，先假设使用二维数组dp[i][j]来推导，然后尝试用一句话来概括这个dp[i][j]的含义，比如背包问题，dp[i][j]代表的是对于前i个物品，当前背包的容量为j时的最大价值。比如凑零钱问题，dp[i][j]代表的是对于前i个硬币，当前的总价值为j时，所使用的最小硬币个数。但是如果是爬楼梯问题，如果使用dp[i][j]二维数组，貌似就有点难定义了，i,j要分别代表什么才能用一句概括dp[i][j]的含义？我做这题的时候，发现没有那么多的状态，就改变思路，选择用一维数组，也就是dp[i]代表的是前i阶楼梯的不同上楼方法的个数。或者两个状态不能够表达题意，也可以选择用三维数组dp[i][j][k]来表述，比如leetcode【474】一和零问题，就需要用三维数组：dp[i][j][k]代表的是前面i个字符串，有j个0，k个1，值为子集的长度。

2、写出状态转移方程：根据状态，以及你确认了使用几维数组，就可以尝试推导出状态转移方程了。这一步只能根据经验，只要牢记一点：在已知dp[0],dp[1]…dp[i-1]的情况下，如何推导出dp[i]，可以从简单的第0个，第1个，第2个入手，然后推导出规律，也就是使用数学归纳法。

3、确定base case ，一般情况下一维数组就是手动求出dp[0]，二维数组就是使用一两个for循环，手动求出dp[0][0],dp[1][0]…dp[i][0]，或者手动求出dp[0][0],dp[0][1]…dp[0][j]。这需要看情况，比如爬楼梯用一维数组，就初始化个dp[0]就行，背包问题和凑零钱问题用二维数组，就是初始化dp[i][0]，以及dp[0][j]。

4、使用for循环框架，这个框架符合绝大多数的动态规划问题（因为绝大多数的动态规划问题都是用二维数组），甚至有一些一维数组也需要用双重for循环才行。

for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= W; j++) {
            if(某种情况){
            	状态转移方程
            }else{
			    状态转移方程或赋值
			}
        }
    }

就硬往这个框架套，至于N、W是啥，一般情况下是二维数组的两个长度，具体情况，就要根据题意了，有一些情况下，W等于i。情况多种多样，这也是一大难点，不过如果推导出了状态转移方程，这些边界条件，都比较容易推算出来。有些题目，如果你没思路，不知道到动态转移方程怎么写，可以先把大体解题框架写出来，比如定义dp，初始化，两个for循环。写完后，就有可能迎刃而解（亲测，好多题我都是写完大体流程才最终确定状态转移方程，因为写完大体框架能够帮助我们理解题目）

为什么会有这个框架，因为一个点：所有的动态规划本质都是穷举（你穷举难道不得用for循环吗？）

动态规划相比较于递归之类的优势，就是不会重复计算，100种可能，动态规划就只需要穷举100种可能。而递归，就会重复穷举，100种可能，递归可能要穷举10000遍才能找出最优解。（天哪，我写了1700字）