算法第五章作业

一、最小重量机器设计问题的回溯法分析

1. 问题定义与解空间

问题要求：机器由n个部件组成，每个部件有m个供应商可选，部件i选供应商j的重量为w_ij、价格为c_ij，需在总价格不超过上限C的前提下，使机器总重量最小。

解空间：所有长度为n的供应商选择序列X=(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x_i∈{1,2,...,m}，解空间规模为mⁿ，涵盖全部可能的供应商组合。

2. 解空间树

解空间树为完全m叉树，树高为n。具体结构：

根节点（第0层）：无部件选择，总重量、总价格均为0；
第i层节点：对应第i个部件的供应商选择，每个节点有m个子节点；
叶节点（第n层）：对应一个完整的供应商组合，即一个完整解。

遍历方式：采用深度优先遍历，到达叶节点时验证价格约束，记录符合条件的最小重量。

3. 结点的状态值
   每个节点需存储3个核心状态值，用于剪枝和后续计算：
   当前部件层级k：已完成前k个部件的供应商选择，下一步处理第k+1个部件；
   当前总重量sum_w：前k个部件的重量之和，即目标函数的当前值；
   当前总价格sum_c：前k个部件的价格之和，用于判断是否违反价格约束。

状态值作用：剪枝优化。若sum_c>C（违反价格约束）或sum_w已大于已找到的最小重量（无更优解可能），直接剪去该节点的所有子树，减少无效遍历。

二、对回溯算法的理解

回溯算法是基于深度优先搜索的暴力搜索优化策略，核心逻辑为“尝试-失败-回溯”。其执行过程为：从根节点出发逐步构建解的候选，若当前候选不满足约束条件或无法得到更优解，则回溯到上一层，尝试其他候选方案。回溯算法的关键在于剪枝操作，通过节点状态值提前判断并排除无效分支，大幅降低搜索空间。与穷举法相比，回溯法通过剪枝避免了大量无用计算；与贪心算法相比，回溯法能保证找到全局最优解，但时间复杂度仍较高，适用于问题规模较小的场景。回溯算法的核心要素包括定义解空间、构建解空间树、设计状态值和剪枝函数，本质是在解空间中高效搜索符合条件的最优解或所有可行解。