贝塞尔函数

基础

贝塞尔函数(Bessel Function)，是数学上的一类特殊函数的总称，是贝塞尔方程的解（无法用初等函数系统表示），它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数 \(y\left( x \right)\)：

\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} + \left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right)y = 0\)

或者 \({x^2}y'' + xy' + \left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right)y = 0\)

作为一个二阶常微分方程，上述函数必然存在两个线性无关的解。并且，贝塞尔函数是在柱坐标/球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程或者亥姆霍兹方程式得到，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有重要问题。

贝塞尔函数的具体形式随着方程中实数参数 \(\alpha\) 变化，且 \(\alpha\) 被称为贝塞尔函数的阶数。实际应用中常见 \(\alpha\) 为整数 \(n\) ，对应 \(n\) 阶贝塞尔函数。虽然公式中 \(\alpha\) 的正负性不改变函数形式，实际应用中习惯针对 \(\alpha\) 和 \(-\alpha\) 定义两种不同的贝塞尔函数，有一些好处（比如消除函数在 \(\alpha=0\) 处的不光滑性），多 \(\alpha\ge 0\)。

贝塞尔函数的求解可以参考知乎文章。