2025-08-25 ？

【t 统计量】

考虑随机变量 X 的 \(n\) 个观测值 \(\{X_1\dots X_n\}\)，有均值 \(\overline{X}\) 方差 \(\sigma\)，原假设这个 \(X\) 的均值是 \(\mu\)

t 统计量定义是 \(\dfrac{\overline X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)

也就是说，“我们观察到的样本均值与假设的总体均值之间的差异，是否大到不能用随机抽样误差来解释？”

【t 检验】

t 检验。衡量两组数据的均值是否有显著差异。或者说，差异是不是由于采样偏差带来的。

最基础的：有两组数据，样本量均值方差分别是 \((n_1,\mu_1,\sigma_1),(n_2,\mu_2,\sigma_2)\)，这时候 t 值就是 \(\dfrac{|\mu_1-\mu_2|}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} - \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)

这个表达式上下分别代表，组间差异和组内采样误差。

究竟数值多大算显著，可以去查表。这里严谨来说，应当是，数值 \(>x\) 就有 \(y \times 100\%\) 的可信度。这里的可信度用术语来说就是 \(p\) 值。也就是说 t 值和 p 值的对应关系可以去查表。

【番外：基础应用】

这时候似乎可以通过 t 统计量来衡量，做完线性回归之后，某个回归系数是否非 0。其公式就是 \(\dfrac{\hat{\bold\beta} - \bold0}{\bold {SE}(\hat\beta)}\)（\(\beta\) 是向量，这个表达式可以直接算出来所有系数的 t 统计量值，SE 是标准误，计算流程已知）